按行和列排序的矩阵。我们需要从给定矩阵中找到Kth最小元素。
有一个时间复杂度为O(KlogM)但需要线性时间算法的解决方案。
示例矩阵：
1 3 5
2 4 6
7 8 9
假设M =没有行，N =没有列，M<N。
我的解决方案：
- 通过获取所有
matrix[i][0]元素来创建大小为M的堆。- 找到最小的元素并从相应的行中推送下一个元素。
- 重复第二步，直至找到
Kth最小。
答案 0 :(得分：3)
Frederickson和Johnson算法的工作原理大致如下。 （它总是让我想起Quickselect。）这是来自一个使用不同实现作为模板的实现，所以细节可能与他们的论文有点不同，但它是同一时间的复杂性和相同的理念。我假设k的合法值从0运行到M * N - 1。
我们将i行和j列中的元素作为A[i, j]访问（从0开始计算）。此外，我们将假装我们可以访问负无穷的A[i, -1]和正无穷的A[i, N]。我们维护两个索引数组left[0 .. M)和right[0..M)，以及两个变量lessthanleft和greaterthanright，具有以下属性：
A[i0, j0]，因此对于所有行i，我们都有A[i, left[i] - 1] < A[i0, j0] <= A[i, left[i]]。也就是说，left[i]大致是行A[i0, j0]行i所在的位置。left[i]到i的{{1}}值0的总和为M - 1。请注意，lessthanleft是lessthanleft所指示位置左侧位置的矩阵元素数 - 即严格小于left的矩阵元素。A[i0, j0]。所以这表示我们正在寻找的元素位于lessthanleft <= k右侧的某一行i。left[i]，因此对于所有行A[i1, j1]，我们都有i。也就是说，A[i, right[i] - 1] < A[i1, j1] <= A[i, right[i]]大致是行right[i]行A[i1, j1]所在的位置。i到N - right[i]的{{1}}值i的总和为0。请注意，M - 1是greaterthanright所指示位置右侧位置的矩阵元素数 - 即严格大于greaterthanright的矩阵元素。right。所以这表示我们正在寻找的元素位于A[i1, j1]左侧的某一行greaterthanright <= M * N - k。可以通过将i的每个元素设置为right[i]，将left的每个元素设置为0，以及right和{{}来初始化这些属性1}}到N - 除非lessthanleft（在这种情况下我们返回greaterthanright）或0（在这种情况下我们返回k = 0）。顺便说一句，这与A[0, 0]，k = M*N - 1，A[M-1, N-1]，i0=0相对应。
现在，在每次迭代中，我们选择一个带有j0=0的枢轴矩阵元素i1=M-1。 （有几种策略;我将在下面讨论这个。）我们使用数组j1=N-1和A[i2, j2]，我们将填充以下内部循环，并设置变量left[i2] <= j2 < right[i2]和less[0..M)和lessequal[0..M)到nless。在内部循环中，我们遍历所有行nequal，并设置ngreater和0，以便i和less[i]。 （自lessequal[i]起，您可以使用A[i, less[i] - 1] < A[i2, j2] <= A[i, less[i]]和A[i, lessequal[i] - 1] <= A[i2, j2] < A[i, lessequal[i]]的值，并从那里开始线性搜索，以便整体花费less[i-1] >= less[i]时间。）我们将less[i-1]添加到lessequal[i-1]，我们将O(N)添加到less[i] - left[i]，然后我们将nless添加到lessequal[i] - less[i]。
在这个内循环之后，我们检查是否nequal。如果是这种情况，我们会通过将right[i] - lessequal[i]设置为ngreater来继续使用小于lessthanleft + nless >= k的条目（如果要阻止在数组的循环中分配，则通过指针翻转，或者将值从A[i2, j2]复制到right）和less复制为less，然后继续下一次迭代。如果right，则我们会将greaterthanright设为greaterthanright + ngreater + nequal，将lessthanleft + nless + nequal < k设为A[i2, j2]，然后继续输入大于left的条目下一次迭代。否则，我们要查找的条目属于等于lessequal的条目，因此我们返回lessthanleft。
现在关于选择枢轴。一种方法是在lessthanleft + nless + nequal区间内选择一个随机数A[i2, j2];然后，我们在A[i2, j2]和c之间找到包含[0 .. N * M - lessthanleft - greaterthanright)矩阵元素的行，从c开始，从每个left减去right left[i] - right[i]直到变为负面。现在选择它变为负数的c并让i。或者，您可以对每行中其余条目的中位数进行中位数样式计算。
通常，每行上0和i之间的矩阵元素集合会被分割，希望在每次迭代时大致为一半。复杂性分析类似于Quickselect，其中预期的迭代次数是“几乎可以肯定的”＃34; （在数学意义上）对数初始池中的值的数量。通过使用中位数样式的枢轴选择，我相信你可以在实际运行时支付它时确定地实现这一目标，但我现在假设＆＃34;几乎可以肯定＆＃34;够好了。 （这与Quicksort为O（N lg（N））的条件相同。）任何单独的迭代都需要j = round((left[i] + right[i])/2)时间来选择一个轴，然后在内部循环中left[i]时间。初始候选人群有right[i]个成员，因此迭代次数几乎肯定是O(M)，总复杂度为O(N)。使用带有每个行的条目的堆的算法需要M*N，这要差得多，因为O(lg(M * N)) = O(lg(M) + lg(M))仅受O(N * (lg(M) + lg(N)))限制。
以下是一个简单示例：考虑O(k * lg(M))，k，我们需要从矩阵N*M中选择M=4元素，如下所示：
N=5我们将k=11初始化为A，将 6 12 17 17 25
9 15 17 19 30
16 17 23 29 32
23 29 35 35 39
初始化为left，将[0,0,0,0]和right初始化为[5,5,5,5]。
假设在第一次迭代中我们选择lessthanleft作为枢轴。在内部循环期间，我们开始检查从条目greaterthanright到左边的第一行，找到最多出现一个最多0的数字。这是列A[1, 2]=17，因此我们设置了right[0]-1=4。我们现在继续搜索第一次出现的严格小于17的数字;这发生在3列中，因此我们设置了lessequal[0]=3+1=4。对于下一行，我们可以开始在列17处查找最多1的值，我们会在列less[0]=1+1=2中找到它，因此请设置17。从lessequal[0]开始寻找严格小于2的值，我们设置lessequal[1]=2+1=3。继续我们得到17和less[0]。因此less[1] = 2，less = [2,2,1,0]和lessequal = [4,3,2,0]。我们有nless = 5，因此我们会继续使用大于nequal = 4的条目并设置ngreater = 11和lessthanleft + nless + nequal = 9 < 11。
对于下一次迭代，我们需要在17和left = lessequal = [4,3,2,0]之间的中心的某行[{1}}上选择一个数据透视表。也许我们选择行lessthanleft = 9，这意味着我们有i。在内循环期间，我们现在left[i]和right[i]获得2和A[2,3] = 29以及less = [5,4,3,1]。现在lessequal = [5,4,4,2]，我们继续使用小于nless = 4的条目并设置nequal = 2和ngreater = 5。
对于第三次迭代，现在每行只剩下一个条目。我们随机选择一行 - 可能是行lessthanleft + nless = 13 > 11。枢轴是29。在内循环期间，我们得到right = less = [5,4,3,1]和greaterthanright = 7。因此3，A[3,0] = 23和less = [4,4,2,0]。我们现在有lessequal = [4,4,3,1]，因此我们返回nless = 1。实际上，有10个矩阵条目严格小于nequal = 2（最后一次迭代中ngreater = 1左侧的那些）和12个最多lessthanleft + nless = 10 < k = 11 <= lessthanleft + nless + nequal = 12的矩阵条目（左边的那些）在最后一次迭代中23。）
答案 1 :(得分：-1)
我认为您可以编写一个O(k)算法，从当前最小值“跳转”到下一个算法，从而最多进行k次操作。您可以使用2个引用，一个指示所有列的当前最小值，另一个指示所有行的当前最小值。然后，您可以按行或按列前进每次迭代。在k次迭代之后，您将获得所需的Kth值。