在无向图中获取所有组合节点对的最佳算法（需要提高时间复杂度）

Question

我有一个无向图A，它具有：任意两个节点之间没有多链路，没有自连接节点，可能有一些孤立节点（度数为0的节点）。

我需要通过图A中所有可能的节点对组合来为不存在的链接分配某种分数（假设我的图有k个节点和n个链接，那么组合的数量应该是（k *（k-1）/ 2-n）组合）。我分配分数的方式是基于组合的2个节点之间的公共邻居节点。

例如：A-D之间的分数应为1，G-D之间的分数应为0 ......

最大的问题是我的图表有超过100.000个节点，并且处理几乎10 ^ 10个组合的速度太慢，这是我第一次尝试接近解决方案。

我的第二个想法是因为算法基于节点的常见邻居，我可能只需要查看邻居，这样我就可以指定不同于0的分数。其余的可以确定为0而不需要计算。但这可能会重复组合。

任何想要接近这个解决方案的人都表示赞赏。请记住，实际网络有超过100.000个节点。

Answer 1

如果将图形表示为邻接列表（而不是邻接矩阵），则可以利用图形只有600,000个边缘的事实，以期有望减少计算时间。

让我们将一个节点V[j]与邻居V[i]和V[k]：

V[i] ---- V[j] ---- V[k]

要查找所有此类邻居对，您可以获取与V[j]相邻的节点列表，并查找这些节点的所有组合。为避免重复，您必须通过要求V[i]来生成组合而不是结束节点V[k]和i < k的排列。

或者，您可以从节点V[i]开始，找到与V[i]距离为2的所有节点。设S为与V[i]相邻的所有节点的集合。对于V[j]中的每个节点S，请创建路径V[i]-V[j]-V[k]，其中：

1. V[k]与V[j]
相邻
2. V[k]不是S的元素（以避免直接连接的节点）
3. k != i（避免周期）
4. k > i（以避免重复）

我个人更喜欢这种方法，因为它在完成下一个节点之前完成了一个节点的邻接列表。

假设在具有~100,000个节点的图中有大约600,000个边，假设所有节点上的边均匀分布，则每个节点的平均度数为12.然后，每个节点的可能路径数量为10 ² 的数量级。对于完整的图，超过10个 ⁵ 节点给出大约10 ⁷ 总路径而不是理论极限10 ¹⁰ 。仍然是一个很大的数字，但比以前快了一千倍。