从序列中减去一个数字后，剩余数字中有多少是正数？

Question

我有一个长度 N 的数字序列。 我将不得不对此数字序列执行 Q 操作。

在每个操作中，我将给出三个整数 P，Q，V ，其中P≤Q≤N，并将从每个减去 V iᵗʰ整数，其中P≤i≤Q。

每次操作后，我将再给出两个整数 X，Y ，X≤Y≤N。我将不得不回答Xᵗʰ和Yᵗʰ（包括）整数之间的整数是多少。

Q 将在 10 ⁵ 附近。我将不得不在大约1/2秒内完成所有操作并回答相应的查询。

我应该使用什么算法/数据结构？程序将是什么？

注意：我对Segment Trees或Binary Indexed Trees有很好的了解。如果您的解决方案涉及这些数据结构，那将非常棒。

Answer 1

数据结构

对数据结构使用具有延迟传播的分段树。

在每个节点商店中：

1. 所有子节点中的正值数
2. 所有子节点的最小正值（即对于值为-1,3,5，-10的子节点，最小正值为3.我们忽略-1和-10，因为它们不是正数。）
3. 要从此节点中减去的待定值（初始化为0）

更新

更新范围的程序如下：

1. 递归下降到段树中，直到找到完全由范围
覆盖的节点
2. 修改节点的待定值

查询

回答范围查询的过程将是：

1. 递归下降到段树中，直到找到完全由范围
覆盖的节点
2. 如果节点的挂起值大于最小正值，则递归更新节点的属性

复杂性

由于每个节点只能变为负一次，我相信整个过程应该是O（nlogn + qlogn），其中n是序列的长度，q是操作的数量。

实施例

假设我们有数组[1,5，-3,4]。

我们将使用以下分段节点：

[1,5,-3,4] min positive 1, pending change 0
[1,5] min positive 1, pending change 0
[-3,4] min positive 4, pending change 0

假设我们想要减去2来更新整个范围，我们将其更改为：

[1,5,-3,4] min positive 1, pending change 2.

现在，由于挂起的更改是＆gt; =最小正数，我们需要通过递归地将更改推送到左子项和右子项来修复节点。

首先，左边的孩子会改为：

[1,5] min positive 1, pending change 2

然后我们将再次展开此节点并将更新应用于

[-1,3] min positive 3, pending change 0

接下来，我们会来到正确的孩子，这将改为

[-3,4] min positive 4, pending change 2

但是不需要进一步递归作为待定更改＆lt;最小的积极。

最后，递归将再次到达顶级节点。我们使用左右子项的属性来计算现在最小正数为2（来自右小孩的最小4和等待2给出4-2 = 2的结果），我们可以将挂起的变化重置为0因为它已经适用于孩子们。

Answer 2

易于编码的数据结构称为Segment-tree 更快但更难编码的数据结构称为二进制索引树。