Question

我在C＃中编写BigDecimal类。我已经成功实施了+， - 和*运营商。但我无法找到计算2个BigDecimals除法的方法。使用这3个运营商实施部门的最快捷方式是什么？或者有更好的方法吗？（考虑开发时间和算法速度）

目标1：我希望结果是具有固定精度的另一个BigDecimal（应该是可更改的）

目标2：正如您所提到的，BigDecimal的目的不是固定的精度。那么我怎样才能实现无限精度？

另一个问题：使用Microsoft BCL的BigRational类进行任意精度算术，然后使用Christopher Currens＆s更好（关于速度和灵活性）这个线程中的扩展方法：Is there a BigFloat class in C#?得到十进制表示而不是写一个新类？

Answer 1

首先，我认为通过“大小数”表示你代表的是理性，其中分母被限制为10的任何幂。

你会想要想想你想要两位小数除法的输出。小数通过加法，减法和乘法关闭，但不会在除法之外结束。也就是说，任何两个小数乘以一起产生第三个：（7/10）*（9/100）给你63/1000，这是另一个小数。但除以这两位小数，你得到一个在分母中没有10的幂的理性。

回答你实际问过的问题：正如在循环中可以在加法中构建乘法一样，除法可以在循环中从减法构建。要将23除以7，请说：

是7＆lt; 23？是。
从23减去7得到16。
是7＆lt; 16？是。
从16减去7得到9
是7＆lt; 9？是。
从9减去7得到2。
是7＆lt; 2？不，我们有第一个数字。我们做了三次减法，所以第一个数字是3。
乘以2乘以10得到20
是7＆lt; 20？是。
从20减去7得到13。
是7＆lt; 13？是。
从15减去7得到6。
是7＆lt; 6？不。我们做了两次减法并乘以10，所以下一个数字是2。
乘以6乘以10得到60
是7＆lt; 60？是的......
...
我们做了8次减法，所以下一个数字是8 ......
......等等

你知道为此目的更快的算法吗？

当然，有很多更快的分割算法。这是一个：Goldschmidt的算法。

首先，我希望很明显，如果您尝试计算X / D，那么您可以先计算1 / D，然后将其乘以X。此外，让我们假设WOLOG严格在0和1之间。

如果不是这样的话怎么办？如果D为负，则反转它和X;如果D为零，则给出错误;如果D为1则答案为X;如果D大于1则将它和X都除以10，这对你来说应该很容易，因为你的系统是十进制的。继续应用这些规则，直到D介于0和1之间。（作为额外的优化：当D非常小时算法最慢，所以如果D小于，比如0.1，则将X和D乘以10，直到D大于或等于0.1。）

好的，我们的问题是我们在0和1之间有一个D，我们希望计算1 / D。可能最简单的方法就是做一个例子。假设我们正在尝试计算1 / 0.7。正确答案是1.42857142857...

首先从2减去0.7得到1.3。现在将分数的两个部分乘以1.3：

(1 / 0.7) * (1.3 / 1.3) = 1.3 / 0.91

大。我们现在已将1 / 0.7计算为一位精度。

现在再做一次。从2减去0.91得到1.09。将分数的两个部分乘以1.09：

(1.3 / 0.91) * (1.09 / 1.09) = 1.417 / 0.9919

很好，现在我们有两个正确的数字。现在再做一次。从2减去0.9919得到1.0081。顶部和底部乘以1.0081：

(1.417 / 0.9919) * (1.0081 / 1.0081) = 1.4284777 / 0.99993439

嘿，现在我们有四个正确的数字。看看怎么样？分母越接近1的每一步，因此分子越接近1 / 0.7。

这比收缩方法收敛得快得多。

你明白为什么会这样吗？

由于D在0和1之间，因此有一个数字E使得D = 1 - E，而E也在0和1之间。

当我们将D乘以（2 - D）时，我们将（1 - E）乘以（1 + E），得到1 - E ²。

从0＆lt; E＆lt;在图1中，显然E ²小于E并且也在0和1之间，这意味着1-E ² 更接近1 。实际上它是 lot 更接近1.通过多次重复这个过程，我们很快就接近1。实际上我们在这里做的是每一步的正确数字的数量大致加倍。显然，这比减法方法要好得多，减法方法在每一步上给出一个额外的数字。

继续这样做，直到你有你想要的准确性。由于每个步骤的准确位数大致加倍，因此您应该能够很快达到可接受的准确度。由于我们已经安排D大于或等于0.1开始，因此E绝不大于0.9;反复平方0.9可以很快将你降到很小的数字。

Answer 2

您可以查看Java BigDecimal实现的一些想法
对于计算a / b，您可以使用Binary search algorithm来查找b * c = a的c（您应该运行算法直到达到所需的精度）。
此外，您可以查看此BigFloat类，它具有指数形式的有趣实现
对于无限精确度，您可以将BigDecimal存储为两个BigInteger的合理分数。

有理数分数代数的代数：

(x1/x2) + (y1/y2) = (x1*y2+x2*y1)/(x2*y2)    
(x1/x2) - (y1/y2) = (x1*y2-x2*y1)/(x2*y2)    
(x1/x2) * (y1/y2) = (x1*y1)/(x2*y2)
(x1/x2) / (y1/y2) = (x1*y2)/(x2*y1)

double（固定精度）的实现示例：

public double Divide(double a, double b, double eps)
{
    double l = 0, r = a;
    while (r - l > eps)
    {
        double m = (l + r) / 2;
        if (m * b < a)
            l = m;
        else
            r = m;
    }
    return (l + r) / 2;
}

Answer 3

Eric Lippert的答案看起来很像“以最慢的方式进行长时间划分”。它准确，预算不快。假设您有一种方法可以使用double逼近BigDecimal，并且由于您已经在BD类中实现了+， - 和*，您可以（大致）执行以下操作：

BD operator/(BD a, BD b) {
  BD r, result=0, residual;
  double aa, bb, rr;
  residual = a;
  bb = b;
  while (residual > desired) {
    rr = (double)residual / bb;
    r = rr; // assuming you have a conversion from double to bigdecimal with loss of precision
    result += r;
    residual = a - (result * b);
  }
  return result;
}

这将进行逐次逼近，但同时使用多个数字（基本上你使用BD算术找到错误，然后使用双算术将其除去）。我认为这应该是一种相对简单而有效的方法。

我使用float和double实现了上述版本 - 只是为了向自己证明这个原则可行。使用简单的C框架，只需要两次迭代就可以将精度降低到double除法的水平。我希望你明白这一点。

#include <stdio.h>

double divide(double a, double b);
int main(void) {
  double a, b, result;
  float fa, fb, fr;
  a = 123.5;
  b = 234.6;
  fa = a;
  fb = b;
  fr = fa / fb;
  printf("using float: %f\n", fr);
  result = divide(a, b);
  printf("using double: %lf\n", result);
  printf("difference: %le\n", result - fr);
}

double divide(double a, double b) {
      double r, result=0, residual;
      float aa, bb, rr;
      residual = a;
      bb = b;
      while (residual > 1e-8) {
        rr = (float)residual / bb;
        r = rr; // assuming you have a conversion from double to bigdecimal with loss of precision
        result += r;
        residual = a - (result * b);
        printf("residual is now %le\n", residual);
      }
      return result;
    }

输出：

using float: 0.526428
residual is now 8.881092e-06
residual is now 5.684342e-14
using double: 0.526428
difference: 3.785632e-08

仅使用加法和乘法来实现除法

3 个答案: