Question

我正在查看另一个问题（here），其中有人正在寻找一种方法来获取x86汇编中64位整数的平方根。

事实证明这很简单。解决方案是转换为浮点数，计算sqrt然后转换回来。

我需要在C中做一些非常相似的事情但是当我看到等价物时，我会有点卡住。我只能找到一个接收双打的sqrt函数。双精度不具有存储大64位整数的精度，而不会引入明显的舍入误差。

我是否可以使用具有long double sqrt函数的公共数学库？

Answer 1

不需要long double;平方根可以用double计算（如果它是IEEE-754 64位二进制）。将64位整数转换为double时的舍入误差几乎与此问题无关。

舍入误差最多为2 ⁵³中的一部分。这会导致2 ⁵⁴中最多一个部分的平方根出错。由于将数学结果四舍五入为sqrt格式，double本身在2 ⁵³中的舍入误差小于一部分。这些错误的总和很小; 64位整数的最大可能平方根（舍入为53位）为2 ³²，因此2 ⁵⁴中的三个部分的误差小于.00000072。

对于uint64_t x，请考虑sqrt(x)。我们知道这个值在x的确切平方根的.00000072范围内，但我们不知道它的方向。如果我们将其调整为sqrt(x) - 0x1p-20，那么我们知道我们的值小于x的平方根，但非常接近。

然后此代码计算x的平方根，截断为整数，前提是操作符合IEEE 754：

uint64_t y = sqrt(x) - 0x1p-20;
if (2*y < x - y*y)
    ++y;

（2*y < x - y*y等同于(y+1)*(y+1) <= x，但如果y+1为2 ³²，它会避免包装64位整数。）

Answer 2

功能sqrtl()，取long double，是C99的一部分。

请注意，您的编译平台不必将long double实现为80位扩展精度。它只需要与double一样宽，Visual Studio实现就像普通double一样。 GCC和Clang在英特尔处理器上将long double编译为80位扩展精度。

Answer 3

是的，标准库有sqrtl()（自C99起）。

Answer 4

如果你只想计算整数的sqrt，使用除法和征服应该在最多32次迭代中找到结果：

uint64_t mysqrt (uint64_t a)
{
  uint64_t min=0;
  //uint64_t max=1<<32;
  uint64_t max=((uint64_t) 1) << 32; //chux' bugfix
  while(1)
    {
       if (max <= 1 + min)
         return min;           

       uint64_t sqt = min + (max - min)/2;
       uint64_t sq = sqt*sqt;

       if (sq == a) 
         return sqt;

       if (sq > a)
         max = sqt;
       else
         min = sqt;
    }

调试留给读者练习。

Answer 5

在这里，我们收集了几个观察结果，以便找到解决方案：

在标准C＆gt; = 1999中，保证非虚拟整数的位数表示为任何基数为2的数字。
----＆GT;因此，我们可以信任这种数字的位操作。
如果x是无符号整数类型，则为x >> 1 == x / 2和x << 1 == x * 2。
（！）但是：比特操作很可能比它们的算术对象更快。
sqrt(x)在数学上等同于exp(log(x)/2.0)。
如果我们考虑截断的对数和整数的基数2指数，我们可以得到一个公平的估计：IntExp2( IntLog2(x) / 2) "==" IntSqrtDn(x)，其中"="是非正式符号，意思是几乎等于（在一个很好的近似意义上）。
如果我们写IntExp2( IntLog2(x) / 2 + 1) "==" IntSqrtUp(x)，我们得到整数平方根的“上面”近似值。
（4）和（5）中得到的近似值有点粗略（它们包含两个连续2次幂之间的sqrt（x）的真值），但它们可能是任何一个非常好的起点。搜索x的平方值的算法。
如果我们对真实解决方案有一个很好的初步近似，那么平方根的牛顿算法可以很好地用于整数。

http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_square_root

最终的算法需要一些数学合成才能确保始终正常工作，但我现在不会这样做......我会告诉你最终的程序，而不是：

    #include <stdio.h>   /* For printf()...  */
    #include <stdint.h>  /* For uintmax_t... */
    #include <math.h>    /* For sqrt() ....  */

    int IntLog2(uintmax_t n) {
        if (n == 0) return -1; /* Error */
        int L;
        for (L = 0; n >>= 1; L++)
           ;
        return L; /* It takes < 64 steps for long long */
    }

    uintmax_t IntExp2(int n) {
        if (n < 0)
           return 0; /* Error */            
        uintmax_t E;
        for (E = 1; n-- > 0; E <<= 1)
            ;
        return E; /* It takes < 64 steps for long long */
    }

    uintmax_t IntSqrtDn(uintmax_t n) { return IntExp2(IntLog2(n) / 2); }

    uintmax_t IntSqrtUp(uintmax_t n) { return IntExp2(IntLog2(n) / 2 + 1); }

    int main(void) {
        uintmax_t N = 947612934;  /* Try here your number! */

        uintmax_t sqrtn  = IntSqrtDn(N),  /* 1st approx. to sqrt(N) by below */
                  sqrtn0 = IntSqrtUp(N);  /* 1st approx. to sqrt(N) by above */

        /* The following means while( abs(sqrt-sqrt0) > 1) { stuff... } */
        /* However, we take care of subtractions on unsigned arithmetic, just in case... */
        while ( (sqrtn > sqrtn0 + 1) ||  (sqrtn0 > sqrtn+1) )
           sqrtn0 = sqrtn, sqrtn = (sqrtn0  + N/sqrtn0) / 2; /* Newton iteration */

        printf("N==%llu, sqrt(N)==%g, IntSqrtDn(N)==%llu, IntSqrtUp(N)==%llu, sqrtn==%llu, sqrtn*sqrtn==%llu\n\n",  
                N,            sqrt(N),       IntSqrtDn(N),       IntSqrtUp(N),      sqrtn,       sqrtn*sqrtn);

        return 0;
    }

sqrtn中存储的最后一个值是N的整数平方根程序的最后一行只是显示所有值，具有复杂的目的因此，您可以尝试N的不同值，看看会发生什么。

如果我们在while循环中添加一个计数器，我们将看到不会发生几次迭代。

备注：在整数设置中工作时，必须验证是否始终达到条件abs(sqrtn-sqrtn0)<=1。如果没有，我们将不得不修复算法。

备注2：在初始化句子中，请注意sqrtn0 == sqrtn * 2 == sqrtn << 1。这避免了我们的一些计算。

Answer 6

// sqrt_i64 returns the integer square root of v.
int64_t sqrt_i64(int64_t v) {
    uint64_t q = 0, b = 1, r = v;
    for( b <<= 62; b > 0 && b > r; b >>= 2);
    while( b > 0 ) {
        uint64_t t = q + b;
        q >>= 1;           
        if( r >= t ) {     
            r -= t;        
            q += b;        
        }
        b >>= 2;
    }
    return q;
}

for 循环可以使用 clz 机器码指令进行优化。

如何轻松计算C中无符号长long的平方根？

6 个答案: