Minkowski总和与弧形的形状

Question

有一个问题：我想计算两个几乎凸多边形的Minkowski和，其中几乎凸多边形 - 多边形，通过用弧替换一些边获得在凸多边形中有0到PI弧度。

我希望有O（n + m）解，其中n，m - 几乎凸多边形的椎体数。

对于凸形，这个问题很简单，但这个问题让我很困惑。任何人都可以帮助我任何建议/想法/解决方案。提前谢谢！

Answer 1

首先，可视化Minkowski总和（help with that here）。接下来，了解弧和弦之间的区域（这是半硬部分here）。如果你的多边形是凸的，弧是凸的方向，那么它只会增加Minkowski和的面积。具体而言，它将精确地添加弧和弦所描述的区域。当且仅当您在凸方向上处理凸多边形和弧时，您可以简单地将您在多边形上使用的完全相同的弧替换为Minkowski和的相应边。请注意，Minkowski和的每个边都精确对应于一个相关多边形的边缘。

我从Minkowski链接制作了一张幻灯片的快速屏幕，以说明我的观点。请原谅我这是不准确的，但我想你会得到这个想法。紫色区域将被添加到Minkowski总和的区域。

如果您将其用于运动规划或类似操作，则可以轻松地调整传统算法以进行点遏制。

编辑： 我认为如果弧是在凹方向上，它只是区域减法而不是加法的问题。保持简洁性的重要一点是，其中一个多边形是凸的，并且在凸多边形或另一个凸包的边缘上发生弧替换。