我目前正在阅读The Algorithm Design Manual，我仍然坚持这项工作。
取一系列2n个实数作为输入。设计一个O（n log n）算法 将数字划分为n对，具有分区最小化的属性 一对的最大总和。例如，假设我们得到了数字（1,3,5,9）。 可能的分区是（（1,3），（5,9）），（（1,5），（3,9））和（（1,9），（3,5））。这对 这些分区的总和是（4,14），（6,12）和（10,8）。因此第三个分区有 10作为其最大总和，这是三个分区的最小值。
我从一些例子中猜到，解决方案看起来像这样：
# in pseudo ruby code
a = [1,3,5,9]
pairs = []
while !a.empty?
pairs << [a.shift, a.pop] # [a.first, a.last]
end
pairs
但如何证明呢？
答案 0 :(得分：9)
该算法有效，因为当x 0 ，x 1 ，... x 2n-1 是排序列表时，总会有包含（x 0 ，x 2n-1 ）的最优解。
证明：
考虑不包含的任何最优解（x 0 ，x 2n-1 ）。它必须包含对（x 0 ，x a ）和（x b ，x 2n-1 ） x 0 ≤x a ≤x 2n-1 和x 0 ≤x b ≤x 2n-1 。从解决方案中删除这些对，并放在它们的位置（x 0 ，x 2n-1 ）和（x a ，x b'/子>）。两个新对的存在是否“破坏”了解决方案？该对（x 0 ，x 2n-1 ）不能，因为它的和小于或等于（x b ，x 2n-1 ），它是原始最佳解决方案的成员。不能再次（x a ，x b ）造成损害，因为其总和小于或等于（x b 的总和，x 2n-1 ），它是同一解决方案的成员。我们构建了一个 包含（ 0 ，x 2n-1 ）的最优解。
因此，您提供的算法绝不排除在任何步骤找到最佳解决方案的可能性，当只剩下两个值配对时，它们必须配对在一起。
答案 1 :(得分：3)
给定输入数组
x 0 x 1 x 2 ... x 2n
使用合并排序在O（n log n）时间内对其进行排序以生成排序列表
x a 0 x a 1 ... x a 2n < /子>
其中索引a i 表示您在初始列表上执行的排列以获得第二个列表。
我声称，所有配对产生最小最大总和的配对是以下配对：
（x a i ，x a 2n-i ）i = 0,1，.... ..，n。也就是说，您将最高值的数字与可用的最低值数字组合在一起。
<强>证明
通过归纳进行，对于2n = 2的情况，这是显而易见的。
不失一般性，请考虑输入是已排序数字的列表（因为如果不是那么对它们进行排序）
x 0 x 1 x 2 ... x 2n 。
考虑x 2n 与任何数字的配对，然后很明显这个配对的最小总和是用（x 2n ，x 0 ）。
现在考虑x 2n-1 的配对（x 2n ，x 0 ），（x 2n- 1 ，x 1 ）是产生最小最大和的对，或（x 2n ，x 1 ），（ x 2n-1 ，x 0 ）是，或两者都是。在后一种情况下，我们的选择并不重要。在最后一秒的情况下，这是不可能的（考虑一下。）在一般情况下，如果我们通过这个过程归纳，当我们寻找x 2n-k 的对时，x < sub> k 是我们可以配对的最低未使用值，但是;相反，假设我们将x k 与其他x 2n-j 配对，j < k，试图获得更低的最低金额。这是不可能的，因为，x 2n-j + x k ＆gt; = x 2n-k + x k ，所以最多我们只能达到相同的最小金额。
这意味着选择（x 2n-k ，x k ）给出了最小配对。
答案 2 :(得分：1)
我认为我可以证明这是一个没有重复数字的序列，对于读者来说，将证明扩展到非唯一序列应该是一个相当简单的练习。
将x 0 ，x 2n 组合在一起，然后根据最佳解决方案将所有其他数字配对。
现在考虑（x 0 ，x 2n ）与任何其他对x y ，x z的配对来自最佳子集。 x 2n + x y 或x z 将大于x y + x z < / sub>以及x 2n + x 0 ，因此x 2n ，x 0 的配对是最优的
证据现在通过归纳扩展到X 1 ，X 2n-1 的配对，以及子集的其他分区，最终产生OP的配对。