Question

我在动态编程中有一个典型的问题。

我的问题是一个数组= {1,2,3,4,5,6}，我必须找到所有数组的总和最多为k。如果我考虑所有的集合，它将成为指数算法。我想通过动态编程来解决这个问题。

Suppose f k =7,
My idea is 
Pass 1: {1],{2}....{6}
Pass 2: Pass1 + {1,2},{1,3},{1,4},{1,5}
Pass 3: Pass2 + {1,2,3},

我的算法停了。

我无法通过动态编程来表达这一点。任何输入？如何将这个算法制定成程序？

Answer 1

针对该问题的DP解决方案应遵循下一个递归公式，并自下而上构建：

f(i,0) = {{}} //a set containing only an empty set
f(0,W) = {{}} (W > 0)
f(0,W) = {} (W < 0) //an empty set
f(i,W) = f(i-1,W) [union] extend(f(i-1,w-element[i]),element[i])

函数extend（set，e）的位置是：

extend(set,e):
   for each s in set: //s is a set itself
      s.add(e)

请注意，复杂度仍然可能是指数级的（甚至不是伪多项式），因为生成的集合数可能是指数级的，并存储在DP表中。

Answer 2

您的问题是knapsack problem的一个实例，其相关决策问题已知为NP完全。这意味着大多数情况下肯定没有亚指数算法（虽然缺少数学证明）。

ZachLangleys的评论表明，即使有一个有效的问题求解器，所有解的枚举在最坏的情况下仍然是指数的，因为产生输出已经需要指数时间。

因为决策问题是NP完全的，所以计算也不容易（否则你会计算，然后测试结果是否等于0）。

使用集合动态编程

2 个答案: