Question

假设您有两个相同长度的列表，L1和L2，N。我们将prodSum定义为：

def prodSum(L1, L2) :
    ans = 0
    for elem1, elem2 in zip(L1, L2) :
        ans += elem1 * elem2

    return ans

假设L1被排序，是否有一种有效的算法可以找到L2的排列数，使得prodSum（L1，L2）<1。一些预先指定的值？

如果它可以简化问题，你可以假设L1和L2都是来自[1,2，...，N]的整数列表。

编辑：Managu的回答让我确信，如果不假设L1和L2是来自[1,2，...，N]的整数列表，这是不可能的。我仍然对采用这种约束的解决方案感兴趣。

Answer 1

可能没有（没有简化的假设）：你的问题是NP-Hard。这是SUBSET-SUM的一个微不足道的缩减。设count_perms(L1, L2, x)表示函数“计算L2的排列数，使得prodSum（L1，L2）＆lt; x”

SUBSET_SUM(L2,n): # (determine if any subset of L2 adds up to n)
    For i in [1,...,len(L2)]
        Set L1=[0]*(len(L2)-i)+[1]*i
        calculate count_perms(L1,L2,n+1)-count_perms(L1,L2,n)
        if result positive, return true
    Return false

因此，如果有办法有效地计算你的函数count_perms(L1, L2, x)，那么我们将有一个有效的算法来计算SUBSET_SUM（L2，n）。

Answer 2

这也证明是一个抽象的代数问题。这对我来说已经有一段时间了，但这里有一些事情要开始。关于以下内容没有什么特别重要的（这是非常基本的;扩展了每个组与排列组同构的事实），但它提供了一种不同的方式来查看问题。

我会尝试坚持相当标准的符号：“ x ”是一个向量，而“ x _i”就是我 x 的^th组件。如果“L”是列表， L 是等效向量。 “ 1 ⁿ”是一个所有分量= 1的向量。自然数集ℕ被认为是正整数。 “[a，b]”是从a到b的整数集，包括端点。 “θ（ x ， y ）”是由 x 和 y

形成的角度

注意prodSum是点积。问题相当于找到L2上的操作（置换元素）生成的所有向量 L ，使得θ（ L1 ， L ）小于给定角度α。该操作相当于通过子空间反映ℕⁿ中的一个点并显示：

＆LT; ℕⁿ | （<强> X <子> I <强> X <子>Ĵ ^-1）<子>（I，J ）∈A＆gt;

其中i和j在[1，n]中，A至少有一个元素而且（i，i）在A中（即A是非[1，n] ²的反身子集，其中| A |＆gt; 0）。更明确地（并且更模糊地）陈述，子空间是一个或多个组件等于一个或多个其他组件的点。反射对应于矩阵，其列是所有标准基矢量。

让我们将反射组命名为“RP _n”（它应该有另一个名称，但内存失败）。 RP _n与对称组S _n同构。因此

| RP <子>名词 | = | S _n | = n！

在3维中，这给出了一组6阶。反射组是D ₃，三角形对称组，作为立方体对称组的子组。事实证明，你也可以通过沿着 1 ⁿ的线围绕π/ 3的增量旋转 L2 来生成点。这是模块化组ℤ₆，这指出了一个可能的解决方案：找到一组n阶！使用最少数量的生成器并使用它来生成L2的排列作为序列，其中 L2 增加，然后减小，角度。从那里，我们可以尝试用θ（ L1 ， L ）生成元素 L ＆lt;直接α（例如我们可以在每个序列的前半部分进行binsearch以找到转换点;使用它，我们可以指定满足条件的其余序列并在O（1）时间内计算它）。我们称这个组为RP'_n。

RP'₄由4个子空间构成，这些子空间与ℤ₆同构。更一般地，RP'_n由n个子空间构成，与RP'_n-1同构。

这是我的抽象代数肌肉真正开始失败的地方。我会继续努力进行施工，但是Managu的回答并没有留下太多希望。我担心将RP ₃减少到ℤ₆是我们可以做出的唯一有用的减少。

Answer 3

看起来如果l1和l2都被排序为高 - >低（或低 - >高，无论如何，如果它们具有相同的顺序），结果最大化，并且如果它们是有序的，那么结果最小化，其他顺序的改变似乎遵循一些规则;在连续的整数列表中交换两个数字总是将总和减少一个固定的数量，这似乎与它们的距离相关（即交换1和3或2和4具有相同的效果）。这只是一点点麻烦，但想法是有一个最大值，一个最小值，如果它们之间有一些预先指定的值，就有办法计算使这种情况成为可能的排列（尽管如果;列表不是均匀间隔，然后没有。好吧，不是我所知道的。如果l2是（1 2 4 5）交换1 2和2 4会产生不同的影响）

动态规划：产品总和

4 个答案: