旋转球体相对于z轴的集合

Question

我有一个存储在numpy数组中的球体中心的坐标（x，y，z）。我希望能够相对于z轴旋转球体，但结果却很奇怪。我的代码执行旋转，但它似乎也正在向上和向右移动。也许这是旋转的预期结果，但我认为不是。 这是我的代码：

theta = math.pi/6
ct = math.cos(theta)
st = math.sin(theta)
z = np.array([[ct, -st, 0], [st, ct, 0], [0, 0, 1]])
self.atoms = np.array([[90,100, 1], [140,100, 1]])
self.atoms = self.atoms.dot(z)

以下是旋转前图像的样子：

以下是它的样子：

Answer 1

您必须翻译整个系统，以便旋转中心是系统的中心。

您使用的旋转方程只有在原点周围旋转时才有效。

对于平移，您还可以乘以具有平移方向的矩阵作为最后一行。

无论如何，整个转换是P' = inv(T) * R * T * P（其中P是图中的每个点，P'是最终结果的位置，请参见示例）翻译矩阵简单地否定了翻译成分的符号。

编辑（编写示例 - 您可能必须转置所有内容 - 使用列切换行）：

您从以下位置开始：

atoms =
    90   140
   100   100
     1     1

出现在

中

然后使用矩阵

应用旋转

R =
   0.86603  -0.50000   0.00000
   0.50000   0.86603   0.00000
   0.00000   0.00000   1.00000

并获得

的结果

R * atoms =
    27.9423    71.2436
   131.6025   156.6025
     1.0000     1.0000

转化为（正如您所观察到的，红点是新点）

问题在于，通过R * atoms我们围绕原点旋转。在下图中，两条蓝线之间的角度恰好是pi/6

现在，我们想要获得蓝色圆圈：

为此，我们需要几个步骤：

• 构建平移矩阵以转换点，使旋转中心成为轴的中心：

  T =
   1     0  -115
   0     1  -100
   0     0     1
  

  （-115和-100是原子中心的负数）

• 翻译点，使两个中心重叠（我们得到红色原子）

  T * atoms =
    -25   25
      0    0
      1    1
  

  （观察我们的新两点在原点周围是对称的）

• 旋转新点（我们得到绿色圆圈）

  R * T * atoms
    -21.6506   21.6506
    -12.5000   12.5000
      1.0000    1.0000
  

• 最后，将所有内容翻译回来

  inv(T) * R * T * atoms =        
      93.3494   136.6506
      87.5000   112.5000
       1.0000     1.0000
  

最后评论：

1. 您获得的输出是可以解释的，因为我的原点位于图的下角/中间，而您的原点位于上角。

2. 因此，您可能还必须颠倒乘法的顺序：point * translation * rotation * translation。检查哪些方法有效。

3. 我作弊了一点，同时对两个点进行了转换。幸运的是，结果与依次对每个点进行转换的结果相同。

4. 每个2D / 3D变换都可以用矩阵来编写。我们使用3x3矩阵表示2D，4x4表示3D。基本上，我们使用Homogenous coordinates

5. 最后，请参阅Transformation matrix了解更多示例和详细信息。