一种算法，用于查找给定限制“1”（0 <= 1 <= 10 ^ 16）中的数字的数量，其中至少出现一个数字数字'n'？

Question

首先，这不是一个功课问题。我正在经历一些组合问题以通过算法解决，我真的只需要开始解决这个问题。

我最初的想法是声明一个大小为17的数组初始化它并运行一个循环来查找数字的出现，比如使用简单的搜索来说“5”。但解决方案看起来很乏味和丑陋。

1. 关于如何代表一个大数字（10 ^ 16）的任何想法？
2. 是否有一个简单的组合公式/算法来解决这类问题？

感谢。

Answer 1

假设你的意思是0＆lt; = l＆lt; 10 ^ 16（不是＆lt; = 10 ^ 16），此范围内的所有整数都有10位数（允许前导0）。在此范围内总共有10 ^ 16个值。我把问题写成：

数字 n 的数字= 10 ^ 16 - 数字 n 。

那么我们有多少种方法可以在1的地方选择 n ？ 9种方式。我们有多少种方式可以放置一个＆＃39; n＆＃39;在10s或1的地方？ 9 * 9。遵循这个逻辑，有9 ^ 16种方法不将 n 放入16个可能的插槽中。

所以你的答案是10 ^ 16 - 9 ^ 16。

如果你实际上意味着0＆lt; = l＆lt; = 16，那么该范围只有一个数字，即10 ^ 16。此数字的前导数字为1，因此如果 n = 1，则恰好有10 ^ 16 - 9 ^ 16 + 1个值，其中包含1。如果n！= 1，则前一个答案成立。

Answer 2

让：

  

G(m)是值i的数量，其中0<=i<=10^m包含数字n!=0

正如之前的回答所说，当n!=0时，答案是：

  

G(m) = 10^m - 9^m

所以，G(16) = 10,000,000,000,000,000 - 1,853,020,188,851,841 = 8,126,979,811,148,159

n=0时，有两种方法可以查看它。

1）仅计算第一个非零数字后的数字   2）计算所有m个数字，即使该数字以许多0个数字开头

对于第二种情况，则n=0与n!=0时的答案相同。

  

F(m)是值i的数量，其中0<=i<=10^m包含数字n=0

对于第一种情况，答案稍微复杂一点。在m位数字中，第一个数字不是0，但剩余的m-1数字可以是任何数字。因此，G(m-1) F（m）= 9 * G（m-1）`定义的数字m-1' digits can contain a zero. Since there are 9 (non zero) possibilities for the leading digit,。

  

让H(m,n)为值i的数量，其中0<=i<=10^m包含数字n

然后：

  

H(m,n) = G(m)如果n!=0，9*G(m-1) n=0

，其中

  

G(m) = 10^m - 9^m

因此，H(16,n) = 8,126,979,811,148,159如果n!=0和H(16,0) = 7,146,979,811,148,159