这是CLR（算法导论）的问题。问题如下：
假设快速排序的每个级别的分割比例为1-α到α，其中0 <α。 α≤1/ 2是常数。表明递归树中叶子的最小深度约为-lg n /lgα，最大深度约为-lg n / lg（1-α）。 （不要担心整数舍入。）http://integrator-crimea.com/ddu0043.html
我没有得到如何达到这个解决方案。根据链接，他们表明，对于1：9的比率，最大深度是log n / log（10/9）和最小log n / log（10）。那么如何证明上述公式呢？因为我是算法和数据结构课程的新手，请帮助我解决我的错误。
答案 0 :(得分：8)
首先，让我们考虑一下这个简单的问题。假设你有一个数字n和一个分数（在0和1之间）p。你需要将n与p相乘多少次才能得到的数字小于或等于1？
n*p^k <= 1
log(n)+k*log(p) <= 0
log(n) <= -k*log(p)
k => -log(n)/log(p)
现在，让我们考虑一下你的问题。假设您将两个片段中的较短片段发送给左侧孩子，将较长片段发送给右侧孩子。对于最左边的链，通过在上面的等式中用\ alpha代替p来给出长度。对于最右边的链，通过将1- \α替换为p来计算长度。这就是为什么你把这些数字作为答案。
答案 1 :(得分：0)
一般问题和答案
假设每个快速排序级别的拆分均成比例 1-α至α，其中0 ＜α≤1/ 2为常数。证明递归树中叶子的最小深度约为-lgn /lgα 并且最大深度约为-lgn / lg（1-α）。 （不必担心整数舍入。）
answer：
最小深度遵循的路径始终占据分区的较小部分，即将元素数量乘以α。一次迭代将元素的数量从 n 减少到αn，而 i 迭代将元素的数量减少到（α^ i）n 。在一片叶子上，仅剩一个元素，因此在深度为 m 的最小深度叶子上，我们有（α^ m）n = 1 。因此，αm= 1 / n 。取日志，我们得到 m *lgα= -lgn 或 m = -lgn /lgα。 类似地，最大深度对应于总是占据分区的较大部分，即，每次都保持元素的1-α的一部分。当仅剩一个元素时，即 [（1-α）^ M] n = 1 时，达到最大深度 M 。因此， M = -lgn / lg（1-α）。
所有这些等式都是近似的，因为我们忽略了地板和天花板。