Question

我正在寻找一些指示，因为我不知道从哪里开始研究这个。

我在每个单元格中都有一个0或1的2D矩阵，例如：

我想对它进行排序，使其尽可能为“上三角”，如下：

行和列必须保持完整，即元素不能单独移动，只能“整体”交换。

据我所知，可能存在一种病态情况，其中矩阵具有多个可能的排序结果（即相同的形状，但“原始”行/列的标识不同。）

那么，任何人都可以建议我在哪里找到一些起点吗？现有的库/算法会很棒，但我会知道我想要解决的问题的名称！

我怀疑这是一个线性代数问题，也许有一种适用的图像处理技术。

除了其他任何想法，我最初的猜测只是在行上写一个简单的插入排序，然后对列进行迭代，直到它稳定（并希望检测病理情况不太难。）

更多细节：有关我正在尝试做的更多信息可能有助于澄清。每行代表一个竞争者，每列代表一个挑战。每个1或0代表竞争对手在特定挑战中的“成功”。

通过对矩阵进行排序以使所有1都位于右上方，我希望随后提供每个挑战的内在难度和竞争对手排名的排名（这将考虑他们成功的挑战的难度） at，而不仅仅是成功的数量。）

关于已接受答案的说明：我已接受模拟退火作为“答案”，但需要注意的是此问题没有正确答案。这似乎是一个很好的方法，虽然我实际上没有设法得到一个适用于我的问题的评分函数。

Answer 1

基于simulated annealing的算法可以在没有太多麻烦的情况下处理这类事情。如果你的小矩阵很可能是一个固定的解决方案，那就太好了，但如果你的矩阵变得更大并且问题变得更加困难，那就太棒了。

（但是，你也不希望插入可以逐步完成。）

<强>预赛

设计一个“得分”矩阵的表现函数 - 更接近三角形的矩阵应得到比三角形y更小的矩阵。
在矩阵上设计一组允许的操作。您的描述有点模棱两可，但如果您可以交换行，那么一个操作将是SwapRows(a, b)。另一个可能是SwapCols(a, b)。

退火循环

我不会在这里给出完整的论述，但这个想法很简单。您可以使用操作对矩阵执行随机转换。您可以测量操作后矩阵的“更好”程度（使用操作前后的性能函数）。然后你决定是否提交转换。你重复这个过程很多。

决定是否提交转换是有趣的部分：您需要决定是否执行该操作。在退火过程结束时，您只接受改善矩阵分数的转换。但是在早些时候，在一个更混乱的时代，你允许转换不会提高分数。在一开始，算法是“热”的，任何事情都会发生。最终，算法冷却，只允许良好的转换。如果线性冷却算法，则选择是否接受转换是：

public bool ShouldAccept(double cost, double temperature, Random random) {
    return Math.Exp(-cost / temperature) > random.NextDouble();
}

您应该阅读Numerical Recipes中包含的优秀信息，以获取有关此算法的更多信息。

长话短说，你应该学习一些这些通用算法。这样做可以解决难以分析解决的大类问题。

评分算法

这可能是最棘手的部分。你需要设计一个能够指导退火过程实现目标的记分员。记分员应该是一个连续的函数，当矩阵接近理想的解时，它会产生更大的数字。

您如何衡量“理想解决方案” - 三角形？这是一个天真而简单的得分手：对于每一点，你都知道它应该是1还是0。如果矩阵是正确的，则为分数添加+1，如果是错误则为-1。这里有一些代码，所以我可以明确（未经过测试！请查看！）

int Score(Matrix m) {
    var score = 0;
    for (var r = 0; r < m.NumRows; r++) {
        for (var c = 0; c < m.NumCols; c++) {
            var val = m.At(r, c);
            var shouldBe = (c >= r) ? 1 : 0;
            if (val == shouldBe) {
                score++;
            }
            else {
                score--;
            }
        }
    }
    return score;
}

使用这种评分算法，1和0的随机字段将得分为0.“相反”三角形将给出最大的负分数，正确的解决方案将给出最大的正分数。两个分数的差异会给你带来成本。

如果这个得分手不适合你，那么你需要“调整”它直到它产生你想要的矩阵。

此算法基于这样一个前提，即调整此记分器比设计用于对矩阵进行排序的最佳算法要简单得多。

Answer 2

我提出了以下算法，它似乎正常工作。

阶段1：移动大多数1 s的行和大多数1 s的行。

首先是行。通过计算1 s来对行进行排序。我们不在乎如果2行具有相同数量的1 s。
现在列。按cols排序计算他们的1。我们不在乎如果2个cols的数量相同 1秒。

阶段2：重复阶段1 ，但要有额外的标准，以便我们满足三角矩阵变形。
行标准：如果2行具有相同数量的1 s，我们将向上移动以较少0秒开头的行。

cols的标准：如果2个col具有相同数量的1 s，我们将向右移动在底部具有较少0 s的col。

示例：

第1阶段

  1 2 3 4                     1 2 3 4                   4 1 3 2
A 0 1 1 0                   B 1 1 1 0                 B 0 1 1 1
B 1 1 1 0  - sort rows->    A 0 1 1 0  - sort cols->  A 0 0 1 1
C 0 1 0 0                   D 1 1 0 0                 D 0 1 0 1
D 1 1 0 0                   C 0 1 0 0                 C 0 0 0 1

第2阶段

  4 1 3 2                     4 1 3 2
B 0 1 1 1                   B 0 1 1 1
A 0 0 1 1  - sort rows->    D 0 1 0 1  - sort cols-> "completed"
D 0 1 0 1                   A 0 0 1 1
C 0 0 0 1                   C 0 0 0 1

编辑：事实证明我的算法始终没有给出正确的三角矩阵例如：

第1阶段

   1 2 3 4                    1 2 3 4                
A  1 0 0 0                  B 0 1 1 1                
B  0 1 1 1 - sort rows->    C 0 0 1 1  - sort cols-> "completed"
C  0 0 1 1                  A 1 0 0 0                
D  0 0 0 1                  D 0 0 0 1

第2阶段

   1 2 3 4                    1 2 3 4                   2 1 3 4
B  0 1 1 1                  B 0 1 1 1                 B 1 0 1 1
C  0 0 1 1 - sort rows->    C 0 0 1 1  - sort cols->  C 0 0 1 1
A  1 0 0 0                  A 1 0 0 0                 A 0 1 0 0
D  0 0 0 1                  D 0 0 0 1                 D 0 0 0 1
                           (no change)

（*）或许阶段3 会增加良好的结果。在该阶段，我们将以较少0 s开头的行放在顶部。

Answer 3

寻找Anna Lubiw关于“矩阵的双重词汇排序”的1987年论文。

下面有一个引文。订单与您要查找的内容不同，但非常接近。如果不出意外，你应该可以从中获得一个好主意。

http://dl.acm.org/citation.cfm?id=33385

Answer 4

这是一个起点：

将每行从二进制位转换为数字

按降序对数字进行排序。

然后将每一行转换回二进制。

Answer 5

基本算法：

确定行总和并存储值。确定列总和和存储值。
按升序对行总和进行排序。对列进行排序按升序排列。

希望你应该有一个尽可能靠近右上角三角形区域的矩阵。

Answer 6

将行视为二进制数，最左边的列为最高位，并按降序排列，从上到下

将列视为二进制数，最下面的行为最高位，并按从左到右的升序排序。

重复直到达到固定点。该算法终止的证据留给读者作为练习。

对二进制2D矩阵进行排序？

6 个答案: