如何在给定这些点的坐标的情况下找到二维空间中三个点的方向？

Question

其实我找到了这个公式，但我不知道它是如何工作的。

让p,q和r成为三点，

k=(q.y - p.y)*(r.x - q.x)-(q.x - p.x) * (r.y - q.y);

if(k==0): They are all colinear
if(k>0) : They are all clockwise
if(k<0) : They are counter clockwise

如果有人解释它是如何运作的，我会很高兴。

Answer 1

此公式用于计算 q-p 和 q-r 的cross product个向量。您可以在几何含义部分中看到跨产品值的部分 C = A x B = | A | * | B | * Sin（Theta），其中Theta是这些矢量之间的角度（点对点方向）。对于平行向量，Sin（Theta）= 0，当Theta <1时，为正。 180，否则否定。

示例：

顺时针三联体ABC：AB和AC载体的杂交产物> 0

逆转三联体ACD：AC和AD的交叉产物为阴性。

Answer 2

让我们有三点：

考虑我们将按P -> Q -> R顺序遍历它们。我们必须找到我们的遍历是顺时针，逆时针还是所有三个点都在同一条线上。

众所周知，矢量的交叉积可以用来计算它们在3D空间中的方向（https://math.stackexchange.com/questions/285346/why-does-cross-product-tell-us-about-clockwise-or-anti-clockwise-rotation）。我们可以使用此属性通过将我们的点和相应的向量扩展到3D情况来计算2D空间中的遍历。因此，让我们定义与上面选择的方向相对应的向量，并将它们扩展为3D情况：

然后我们计算这些载体的叉积：

根据Z坐标的值，原始点逆时针（如果是负），顺时针（如果是正）或它们在同一条线上（如果值为0）。

您还可以回想起在物理课程中通常在小学教授的右手规则（https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule#Cross_products），以确定向量方向。

让我们检查一下！

测试用例＃1：请考虑我们有点P = (0, 0), Q = (1, 0), R = (1, 1)。在纸上绘制它们绘制箭头P->Q和Q->R。你会看到我们逆时针穿过这些点。

从上面代入方程式，我们有：

((0 - 0) * (1 - 1) - (1 - 0) * (1 - 0)) = -2 < 0，

所以这些点是逆时针方向的。

测试案例＃2：让我们使用P = (0, 0), Q = (1, 0), R = (1, -1)进行测试。显然，我们顺时针遍历这些点。

从上面代入方程式，我们有：

((0 - 0) * (1 - 1) - (1 - 0) * (-1 - 0)) = 2 > 0，

所以这些点是顺时针方向的。

测试案例＃3：最后，让我们使用P = (0, 0), Q = (1, 0), R = (2, 0)进行测试。积分位于同一行y = 0。

从上面代入方程式，我们有：

((0 - 0) * (2 - 1) - (1 - 0) * (0 - 0)) = 0 == 0，

所以积分在同一条线上。

希望这有帮助！