为什么cexp（+无穷大+ I *无穷大）= + / - 无穷大+ I * NaN在C语言中？

Question

如果我们查看C语言的委员会草案：n1570 特别是关于复杂数学函数行为的Annex G，我们可以看到复指数在无穷远处具有以下行为：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN
(where the sign of the real part of the result is unspecified).

我的问题是：为什么？

从数学的角度来看，如果我们以相同的方式逼近实部和虚部的无穷大，则极限是复数无穷大（例如，见Wolfram Alpha），它对应于无限模数和未定义的论点。

此外，如果我们查看cexp函数的行为，它的实部和虚部相当可比（参见Wolfram Alpha上的3D图）。

所以，我原以为：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+/-I*infinity

而不是：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN

我知道有一个很好的理由，但我不明白。有人能解释一下这背后的逻辑吗？

编辑：以下是链接摘要：

Answer 1

njuffa http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf链接的文件确实给出了动机：

  

7.3.9.4 cproj函数

     

复杂数学中常用两种拓扑：复杂   具有连续无穷大的平面，以及具有的无穷大球体   它的单一无限。复杂的平面更适合   超越函数，代数函数的黎曼球。   具有多个无穷大的复杂类型提供了一个   复杂平面的有用（但不完美）模型。 cproj   函数通过映射所有无穷大来帮助模拟黎曼球   一，并且应该在任何操作之前使用，尤其是   比较，可能会给任何其他人带来虚假的结果   无穷大。

     

请注意，具有一个无限部分和一个NaN部分的复数值是   被认为是无穷大，而不是NaN ，因为如果一个部分是无限的，   复数值是无限的，与另一个的值无关   部分。出于同样的原因，如果它的参数，cab返回无穷大   有无限的部分和NaN部分。

G.5.1中也有类似的评论：

  

...为了支持one-infinity模型，C99认为任何复杂   具有至少一个无限部分的值作为复数无穷大（即使   另一部分是NaN），并保证操作和功能   尊重无穷大的基本属性，并提供cproj函数   将所有无穷大映射到规范的无穷大。 ...

相关的搜索词是Riemann球体中的“Riemann”，是具有单个无穷大的扩展复平面的数学模型，在Mathematica / Wolfram Alpha中使用，但在数学中并不普遍。

Answer 2

NaN的一个原因是这个无限值没有“方向”的表示。使用实数，lim a->inf : exp(a) -> + infinity。明确定义的方向为直觉提供了原因：

1/(+0) = +inf，1.0 / (-0.0) = -inf和：

1/(+inf) = +0，1/(-inf) = -0

将其扩展到复杂平面：cexp([-]inf + b.I) = [-]inf.{cos(b) + I.sin(b)}

即使结果具有无限大小，仍然存在方向概念，例如，如果b = - PI/2 - > cexp(+inf + b.I) = +inf.(-I)

如果b = [-]inf，那么接近无穷大的方向是 indeterminant 。有无限多个方向，cos(b)和sin(b)的值未定义。毫不奇怪，如果参数是无穷大，真值cos[f|l]和sin[f|l]函数将返回NaN。

这不是一个非常正式的答案，我担心 - 只是对这个想法的“感觉”。我的理解是，这种行为还有其他充分的理由，比如在复杂分析中使用分支切割。