Question

以下是Al Kelley / Ira Pohl撰写的 A Book On C（第3版）中的第60-61页的问题：

以下代码片段显示了计算运行平均值的两种不同方法：

int i;
double x;
double avg= sum= 0.0;
double navg;

for (i=1; scanf("%lf", &x)==1; ++i)
{
  avg+= (x-avg)/i;
  sum+= x;
  navg= sum/i;
}

书中写的原始问题是：如果输入一些“普通”数字，平均值和导航似乎是相同的。通过实验证明平均值更好，即使总和没有溢出。

我作为初级程序员的问题是：

“更好”算法的标准是什么？我认为精确度和运行时间是两个关键因素，但还有其他一些能让算法“更好”的东西吗？
在精度和运行时间方面，我如何通过实验证明，当溢出被排除时，avg仍然是比navg更好的方法？我应该使用“与众不同”的数字，例如大小不同的数字吗？

Answer 1

两种算法在运行时间上没有太大差别;
与navg相比，avg的精确度更高。

（1）运行时间：以下两段代码表明，在1000000的幅度下，两种算法没有太大区别。

#include<stdio.h>
#include<time.h>

int main()
{
  int i ;
  double x ,sum = 0,avg = 0;
  srand(time(NULL));
  for(i = 0; i < 1000000 ; i++)
    {
      x = rand()%10+1;
      sum += x;
    }

  avg = sum/i;
  printf("%lf\n",avg);
  printf("time use:%lf\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);
}

#include<stdio.h>
#include<time.h>

int main()
{
  double sum = 0,avg = 0;
  double x;
  int i;
  srand(time(NULL));
  for(i = 0 ; i < 1000000; i++)
    {
      x = rand()%10+1;
      avg += (x-avg)/(i+1);
    }

  printf("%lf\n",avg);
  printf("time use:%lf\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);
}

（2）精度：下面的代码表明，添加avg和每个x之间的差异，结果为0;而对于navg，结果是-2.44718e-005，这意味着avg在精度上更好。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

int main()
{
  static double data[1000000];
  double sum, avg, check_value;

  int i;
  int n = sizeof(data)/sizeof(data[0]);

  avg = 0;
  for( i = 0; i < n; ++ i)
    {
      avg += ( data[i] - avg) / (i + 1);
    }

  check_value = 0;
  for( i = 0; i < n; ++ i)
    {
      check_value = check_value + ( data[i] - avg );
    }
  printf("\navg += (x[i] - avb) / i:\tavg = %g\t check_value = %g", avg, check_value );

  for( i = 0; i < n; ++ i )
    {
      data[i] = 1.3;
    }

  sum = 0;
  for( i = 0; i < n; ++ i)
    {
      sum += data[i];
    }
  avg = sum / n;

  check_value = 0;
  for( i = 0; i < n; ++ i)
    {
      check_value = check_value + ( data[i] - avg );
    }
  printf("\n avg = sum / N: \tavg = %g\t check_value = %g", avg, check_value );

  getchar();
}

Answer 2

请注意，即使你执行++ i

，你也会在for（）循环中除以零

Answer 3

我认为这是一个有效的问题，尽管措辞不太好。一个问题是，即使the question提到的furins也没有得到很好的表达，并且在收到一个好答案之前就已经关闭了。

然而问题本身是有趣的，特别是对于封闭的一个，它表明它甚至被包含在一本书中，因此它可以引导更多的人朝着一个或另一个方向。

我认为两种算法都不是特别好。在天真的平均值中，看起来我们将失去精确度，或者当平均具有多个差异的数字时我们甚至会丢失数字，但是也可能用其他算法发现相同的结果，可能只是使用不同的输入数据集。

所以，特别是因为它来自现有的书，我认为这是一个非常有效的问题，寻求一些体面的答案。

我试图通过一个例子来掩盖我对这两种算法的看法。所以想象一下你有4个大小相同的数字，你想平均它们。

天真的方法首先将它们一个接一个地总结。在对前两个求和之后，你显然在低端失去了一点精度（因为你现在可能有一个更大的指数）。当您添加最后一个数字时，您有2位丢失（现在使用哪些位来表示总和的高位）。但是你除以4，在这种情况下基本上只是从你的指数中减去2。

在此过程中我们失去了什么？现在，如果所有数字首先被截断2位，则更容易回答。这种情况显然是得到的平均值的最后两位将为零，并且可能引入额外的2位错误（如果所有截断的位都恰好是原始数字中的那些比较，如果它们是零）。所以基本上如果源是具有23位分数的单精度浮点数，那么得到的平均值将具有大约19位的精度。

天真方法的实际结果更好，但总和的第一个数字并没有那么精确。

在每次迭代的差分方法中，将适当加权的差值加到总和中。如果数字具有相同的幅度，那么这种差异很可能会低于一个数量级。然后将其除以当前计数，在此操作中没有任何损失，但是最后一个数字的结果差异（在该示例中i = 4）可能比源数量低约3个数量级。我们将其添加到与原始数字大小相同的运行平均值。

因此，使用此示例中的差分方法添加最后一个数字似乎已经丢失了大约3位的精度，对于所有4个数字，它甚至可能看起来像我们可能会降低到5个基本上丢失的精度 - 可能更糟糕比天真的方法？

差分方法更难以遵循，也许我在我的假设中做了一些错误。但我认为很清楚：看待一个或另一个表现更好似乎没有效果，或者如果是这样，可能取决于数据的布局和幅度差异。

如何证明更好的平均值？

3 个答案: