在m * n矩阵中在3个点之间收敛所需的最小移动次数

Question

我有一个（m * n）矩阵，其中有3个不同的点。我必须找到最小移动次数，使得所有3个点都收敛于矩阵内的一个点。

我迄今为止尝试过的解决方案：

• 蛮力解决方案：尝试矩阵中的所有点，找到 从3个给定点开始需要最小移动的点。
• 将三个点绑定为三角形并尝试在此区域中的点。这更可能是这个三角形的质心。

我想知道有关此问题的其他优化解决方案。感谢。

Answer 1

每次移动都可以将x或y坐标改变+/- 1.垂直和水平距离都是独立的。因此，首先将引导点指向一个x坐标，然后指向y坐标。最佳的做法是将具有最小和最大x的点移动到第三点的x位置。对y重复相同，你就完成了。

这样最终点的坐标是x轴中间点的x坐标和y轴中间点的y坐标（虽然可以有很多这样的点，但这必须是最小化集之一） 。 （如果它们重叠，显然任何一个重叠坐标都是中间的坐标。）

以编程方式获取x值的数组，删除最大值和最小值，与y相同，并且您将保留最接近所有点。

Answer 2

我认为这是http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem的变体之一 - 可能是http://en.wikipedia.org/wiki/Rectilinear_Steiner_tree问题。这看起来足够令人生畏，我会坚持尝试三角形内的所有点。

实际上只有点聚合在一个点上我认为sashkello是对的

Answer 3

适用于Manhattan distance：

简单地将3个点的中间x坐标和中间y坐标作为目标。中间我指的是排序坐标的中位数。

示例：

输入：(1,5), (2,4), (3,6)

x分为1，2和3（排序为1，2，3）。中间的是2。

y分为5，4和6（排序为4，5，6）。中间的是5。

因此，最小化距离的点是(2,5)。

<强>证明：

如果我们从上面提到的点开始向任何方向移动，到我们移动的点的距离会减小，到其他2点的距离会增加，因此每次移动1会导致总减少1但总增加2.一旦我们超过最后一点，所有3个距离将增加，因此总增加将是3而没有减少。因此，任何移动都会导致距离增加，因此上述点是最佳的。

适用于Euclidean distance：

（我现在意识到你说的最小动作，因此这可能不是你想要的）

这有点复杂。它涉及最小化这个等式：

sqrt((x-x1)^2 + (y-y1)^2) + sqrt((x-x2)^2 + (y-y2)^2) + sqrt((x-x3)^2 + (y-y3)^2)

由于sqrt，我们不能通过说x和y是不同的来简化等式。

然而，贪婪的方法可能有效：

• 选择任何一点（也许最小化曼哈顿距离的点是一个好的开始）。
• 虽然拾取点的一个相邻点导致欧氏距离较低，但选择该点。