如何计算秩缺陷矩形矩阵的标准正交基

Question

我正在做一个需要计算矩形矩阵的标准正交基的项目，这个矩阵可能是也可能不是排名不足。在matlab中，我们可以调用基于svd的函数orth（）来处理这个问题，但是我需要在C中实现它。我试图使用Gram-Schmidt，当矩阵是满秩时它运行良好。 C中有没有可以解决这个问题的库？或者在C中实现它的一些提示？非常感谢。

Answer 1

当矩阵的秩缺乏k时（例如，如果4x3矩阵的秩为2，则k = 1），则需要生成k个随机向量，然后减去先前生成的其他正交归一化向量的分量来自随机向量的Gram-Schmidt。

您需要自己生成矢量，如下所示：

2x2矩阵

1 1
0 0

Gram-Schmidt，你会得到

1 0
0 0

这是因为原始列空间仅包含单个方向。当您检测到这种情况时norm(v2) < eps，其中eps是一个足够小的浮点数，如1e-10），为第二个向量v2生成一个随机向量，比如说< / p>

1  0.2
0 -0.3

减去v1

的组成部分

1  0
0 -0.3

并规范化当前v2

1  0
0  1

通过这种方式，您可以构建原始列空间中不存在的路线。

请注意，如果您需要考虑计算速度，此时或您的生产代码，应尽可能避免使用SVD。尽管SVD和基质 - 基质产物都具有O（N ^ 3）复杂性，但是与基质 - 基质产物相比，SVD通常具有大于10倍的因子。事实上，在这样的问题中，SVD在你的研究中可能是有用的，但更好的工具应该是QR分解，这本质上是Gram-Schidt，但是在不同的操作顺序中具有更好的数值稳定性。

Answer 2

试用LAPACK库。它有svd例程（以及许多其他例程）。