什么是大型拉普拉斯矩阵的快速简单求解器？

Question

我需要解决在电阻网络研究中出现的一些大的（N~1e6）拉普拉斯矩阵。其余的网络分析正在使用boost图进行处理，如果可能的话我想保留C ++。我知道有很多很多C ++矩阵库，但似乎没有人在速度或可用性方面成为明确的领导者。此外，关于该主题的许多问题，在这里和其他地方似乎迅速转变为具有有限效用的洗衣清单。为了帮助自己和他人，我会尽量使问题简洁明了：

什么是能够有效处理以下要求的最佳库？

• 矩阵类型：对称对角线显性/拉普拉斯算子
• 尺寸：非常大（N~1e6），无需动态调整大小
• 稀疏度：极端（每行/每列最多5个非零术语）
• 需要的操作：在A * x = b和mat / vec乘法
中求解x
• 语言：C ++（C ok）
• 优先级：代码的速度和简单性。我宁愿避免为这个问题学习一个全新的框架，也不必手动编写太多的帮助代码。

用最小的工作范例对答案充满热爱......

Answer 1

Eigen非常好用，是我所知道的最快的库之一：

http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialSparse.html

Answer 2

如果你想编写自己的求解器，就简单性而言，很难超越Gauss-Seidel次迭代。更新步骤是一行，可以轻松并行化。 Successive over-relaxation（SOR）只是稍微复杂一点，收敛得更快。

Conjugate gradient编码也很简单，并且应该比其他迭代方法快得多。需要注意的重要一点是，您不需要形成完整的矩阵A，只需计算矩阵向量乘积A * b。一旦有效，您可以通过添加SSOR（对称SOR）等预处理器来再次提高融合率。

自己编写合理的最快解决方法可能是基于傅立叶的求解器。它主要涉及对右侧进行FFT，将每个值乘以其坐标的函数，并采用逆FFT。您可以使用像FFTW这样的FFT库，也可以自己动手。

所有这些的一个很好的参考是Arieh Iserles A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations。

Answer 3

有很多相关的帖子，你可以看看。 我建议使用UMFPACK and BOOST's uBLAS Sparse Matrix

中使用的C ++和Boost :: ublas