如何在另一条线上反射一条线

Question

对于我正在开发的碰撞算法，我需要找出如何将一条线反射到另一条线上。

第1行：

y=ax+b 

第2行：

y=cx+d 

第3行：

(a result of reflecting line 1 over line 2) y=ex+f

是否有任何代数方法可以根据e，f，a和b确定c和d？< / p>

Answer 1

之前我遇到了同样的问题。跟我在一起......

这个问题涉及两个部分：

1。找到它们相交的点

找到两条线相交的位置，我们使用两条线的方程式：

y = M1x + B1
y = M2x + B2

使用替换：

M1x + B1 = M2x + B2
M1x - M2x = B2 - B1
x(M1 - M2) = B2 - B1
x = (B2 - B1) / (M1 - M2)

要查找y值，只需将其插入：

y = M1x + B1

2。找到其他两个斜坡的斜率。

第二个更棘手。使用三角法，这不是不可能的。

让L1成为“基线”。 （斜率为M1）

设L2为要在“基线”上反射的线。 （斜率为M2）

让L3成为我们的结果线。 （斜率为M3）

我使用的等式如下：

double M3 = ((2 * M1) + (M2 * pow(M1, 2)) - M2) / (2 * M1 * M2 - pow(M1, 2) + 1);

直接从我的C代码。 重要的是要注意两个斜坡都应该被定义。当其中一个斜坡接近无穷大时，您可以使用L'Hopital的规则得到方程。

随着解释！

这是三行的粗略图。 L2在L1上反射，产生L3。绘图并不准确。 L1和L2之间的角度以及L2和L3标记为R. 以下是事实：

M1 = tan(A1) 
M2 = tan(A2) 
M3 = tan(A3) 

这来自切线的定义。

A3 = R + A1

这看起来有点棘手，但如果你在交叉点画一条水平线就显而易见了。

因此，我们的目标是找到棕褐色（A3）。为了实现这一点，我们需要找到R.正如我们所看到的，R可以在一个带有A2的三角形和另一个角度的A1的补充中找到。因此，我们知道：

R + (180 - A1) + A2 = 180
R - A1 + A2 = 0
R = A1 - A2

让我们看看双方的切线：

tan(R) = tan(A1 - A2)

从三角学，我们知道：

tan(R) =  (tan(A1) - tan(A2)) / (1 + tan(A1)tan(A2))
R = arctan((tan(A1) - tan(A2) / (1 + tan(A1)tan(A2))

Arctan反正切。根据我们之前的公式，A3 = R + A1，我们得到：

A3 = arctan((tan(A1) - tan(A2) / (1 + tan(A1)tan(A2)) + A1
A3 = arctan((M1 - M2) / (1 + M1*M2)) + A1

但我们不想要A3。我们想晒黑（A3）。所以，我们再次采取双方的切线。

tan(A3) = M3 = tan(arctan((M1 - M2) / (1 + M1*M2)) + A1)
M3 = tan(arctan((M1 - M2) / (1 + M1*M2))) + tan(A1) / (1 - tan(arctan((M1 - M2) / (1 + M1*M2))) * tan(A1))

不幸的是，那令人作呕的令人作呕。用斜面替换切线并简化，我们得到

M3 = ((M1 - M2) / (1 + M1*M2)) + M1 / (1 - ((M1 - M2)/(1 + M1*M2)) * M1)
M3 = (M1 - M2 + M1*(1 + M1*M2)) / (1 + M1*M2 - M1*M1 + M1*M2)
M3 = (M1^2 * M2 + 2*M1 - M2) / (1 + 2*M1*M2 - M1^2)

这与上面的公式完全相同。抱歉所有丑陋的数学。当M2完全垂直时，您可以使用L'Hopital的规则来获取

M3 = (M1^2 - 1) / 2*M1

如果有人如此倾向，请检查我的数学。但我现在很累。

Answer 2

1. 假设两条线彼此不平行

第1步：

首先找到线y = ax + b与线y = cx + d的交点，即通过求解得出来

m =（d - b）/（c - a）

第2步：

最后一行有形式的点（x，ex + f），所以我们知道的是连接点的线，相应的图像垂直于镜像线和第一个点的中点及其图像躺在镜子线上。解决第一个要求......

（线连接点的斜率及其图像）*（镜像线的斜率）= -1

我们得到......

c *（e * pt + f - a * n - b）/（pt - n）= -1 -----＆gt;第一个等式。

然后该点的中点及其图像位于中心线上，即

中点的Y坐标 - （c * x中点坐标+ d）= 0

中点的y坐标=（a * n + e * pt）/ 2和x坐标=（pt + n）/ 2

把它放在上面我们得到......

（a * n + e * pt） c - c （pt + n） - 2d = 0 ----＆gt;第二个等式

3

现在这个点和它的图像从交叉点做出相等的角度......一个简单的方法就是说镜像线，点线和图像线之间的角度，点线是相等的...因此...切线线mI和mM之间的角度等于mM和mP的角度

等同于我们

（mM + mP）/（1 + mp * mM）=（mI-mM）/（1 + mI * mM）

其中mM = c，mI = e，并且mP = a -----＆gt;第三个等式

把它放在各自的

中

你得到三个未知数的三个方程，pt，e和f并求解......只需x代替n，你就得到a，f，a，b，c，d。

解决你自己......

然而，如果它们是平行的，那么在两个变量中有两个方程使用中点方法

Answer 3

又一种方法：

相对于线y = ax + b的反射的仿射变换矩阵（适用于非垂直线！）。 设pa = 1 + a ^ 2，ma = 1-a ^ 2，然后矩阵（来自Nikulin的计算机几何书）

 ma/pa    2a/pa     0
 2a/pa   -ma/pa     0
-2ab/pa   2b/pa     1  

因此我们可以在第二行得到两个任意点，应用此变换，并计算新的线方程