Question

让我们将F（n）定义为

F(n) = total set bits in binary representation of 0 to (2^n) -1.

Eg:

F(1) = number of bits set in 0 + number of bits set in 1 = 1
F(2) = number of bits set in 0 + ...... number of bits set in 3 = 4

是否有O（log n）算法来计算F（n），其中n可以大到10 ^ 6.

Answer 1

如果要求在0到2 ⁿ -1的所有整数的二进制表示中设置的位数，则很简单：

这样的数字中有 n 位。
有2个ⁿ这样的数字。
每个地方值的设置恰好是该组数字的一半。
设置位数是总位数的一半。
设置位数 n ×2 ⁿ÷2 = n ×2 ^{名词 -1}

请记住在您的作业中引用此网页：v）。

Answer 2

我闻到了作业，所以我遗漏了代码

一个简单的解决方案，使用对于第i个最低有效位，答案将是

的事实

(N/2^i)*2^(i-1)+ X
where X = N%(2^i) - (2^(i-1)-1) iff N%(2^i)>=(2^(i-1)-1)

考虑从1到N的数字的第i个最低有效位（基于1的索引），然后它们以等于2 ^ i的周期重复。在该时段中，前半部分的值为0，下半部分为0例如： - 对于从0到7的数字，（0将没有贡献，所以没有效果）

000
001
010
011
100
101
110
111
1st least significant bit = 01010101 Period=2
2nd least significant bit = 00110011 Period=4
3rd least significant bit = 00001111 Period=8
and so on.

So for the ith least significant bit ,answer will be (N/Period)*(Half of Period Size) + (N%(2^i - 1) - Half of Period Size + 1)
The second term will only be taken when N%Remainder is greater than or equal to Half of Period Size.
Also , N%(2^i) can be written as N&(2^i - 1)

礼貌：http://www.geeksforgeeks.org

查找从0到（2 ^ n） - 1的总设置位

2 个答案: