找到长度可以除以3的路径

Question

给定无向图（未加权）和两个顶点 u 和 v ， 如何找到 u 和 v 之间的路径，其长度可被3整除？

请注意，路径不一定是简单的路径。

我考虑过DFS的变体和存储路径（以及回溯）的堆栈，但也不能完全理解如何跟踪非简单路径。

时间复杂度应为O（V + E），因此我预计它必须是BFS或DFS的变体。

Answer 1

作弊方式：

从D到B的DFS / BFS;如果长度L％3 == 0，则完成; L％3 == 1，走到邻居然后回来;否则，走到邻居那里然后又回来。

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如果这不符合您的限制，那么：

您可以使用修改后的BFS执行此操作。在进行搜索时，尝试标记您遇到的所有周期;你可以得到所有简单的周期和长度。

之后，如果从A到B的路径长度为L％3 == 0，那么就找到了它。

如果没有，那么在所有周期都有长度Lk％3 == 0的情况下，没有解决方案;

如果有一些长度为K％3！= 0的循环，你可以先从A循环到这个循环，循环一到两次然后再回到A再到B.你可以保证找到长度为3的路径这样。

Answer 2

执行此操作的一种方法是计算图表的修改版本，并在该图表上执行BFS或DFS。

想象一下，将图形叠加在自身顶部三次。每个节点现在出现三次。将第一个副本注释为“mod 0”，将第二个副本注释为“mod 1”，将第三个副本注释为“mod 2”。然后，更改边缘，以便从节点u到节点v的任何边缘始终从节点u到图形的下一层中的节点v。因此，如果从u到v有一个边缘，那么现在有一个边缘从u mod 0到v mod 1，u mod 1到v mod 2，u mod 2到v mod 0.如果你做了BFS或DFS over这个图并找到从u mod 0到任何节点v mod 0的路径，你必须有一个长度必须是三的倍数的路径。

您可以通过复制图形两次并适当地重新布线来在时间O（m + n）中显式构造此图形，并且从那里BFS或DFS将花费时间O（m + n）。然而，这使用了记忆Θ（m + n）。

另一种解决方案是模拟执行此操作而不实际构建新图。做一个BFS，并为每个节点存储三个距离 - 一个mod 0距离，一个mod 1距离和一个mod 2距离。每当您从队列中将节点出列队列时，将其后续队列排队，但将其标记为位于下一个mod层（例如，如果您将级别为0的节点出列队列，将其后续队列置于mod 1，等等）。您可以单独跟踪是否你已经到达距离mod 0，mod 1和mod 2的节点，并且不应该多次将给定mod级别的节点入队。这也花费时间O（m + n），但没有明确地构造第二个图，因此只需要O（n）存储空间。

希望这有帮助！

Answer 3

这是我的伪代码。它使用 BFS 和简单的计数器和模数测试。

1. i：= 0
2. 将节点排队u
3. i ++，将节点出列并对其进行检查
4. 如果在此节点中找到元素v并且i mod 3 == 0，则退出搜索并返回结果。 否则将任何尚未发现的后继者（直接子节点）排队。
5. 如果队列为空，则检查图表上的每个节点 - 退出搜索并返回“未找到”。
6. 如果队列不为空，请从步骤2开始重复。

注意：用堆栈替换队列也应该有效。那将是 DFS 。