Question

所以我自学了AVL树，我理解它背后的基本思想，但我只是想确保我实际实现它的直觉是有效的：

我将用左旋转检查它 -

因此，以下情况很简单：

当我们添加3时，树会重新平衡为：

但轮换是基于3的增加还是根据7的子树的不平衡？它甚至是基于植根于8的树的不平衡吗？

以下示例是我认为事情变得有点毛茸茸的事情：

因此，在这种情况下，当添加3时，7的子树很好，因此子树不需要旋转。然而，9处的树是不平衡的，加上3，所以我们将旋转基于9.我们得到：

因此，在编写我的代码时，我很快就会编写以下代码，从小子树开始，使用更大的子树来完成这个技巧？

伪代码：

function balanceTree(Node n){

  if (n is not null){

    balanceTree(n.rightchild);
    balanceTree(n.leftchild);
  }

  if (abs(balanceFactor(n))>1){

    rotateAsNeeded(n);// rotate based on balance factor

  }

}

提前致谢！

Answer 1

您发布的伪代码将正确平衡树。也就是说，实际上效率太低 - 注意你是在递归地探索整个树试图进行重新平衡操作，这将使所有插入和删除花费O（n）时间，从而消耗掉所有效率增益。平衡树。

AVL树背后的想法是全局重新平衡树可以通过迭代应用本地旋转来完成。换句话说，当您执行插入或删除并需要进行树旋转时，这些旋转将不会出现在树中的随机点中。它们总是出现在插入或删除节点时的访问路径上。

例如，您对将值3插入此树感到好奇：

让我们首先写出与每个节点相关的平衡因子的差异（AVL树节点存储这些信息至关重要，因为它可以有效地进行插入和删除）：

           9(+1)
         /       \
       7 (0)    10 (0)
      / \
  6(0)   8(0)

现在让我们看看当我们插入3时会发生什么。这将3放在这里：

           9(+1?)
          /       \
        7 (0?)    10 (0)
       /   \
   6(0?)   8(0)
   /
 3(0)

请注意，我已经使用？标记了访问路径上的所有节点，因为我们不再确定它们的平衡因子是什么。由于我们为6插入了一个新子节点，因此将6节点的平衡因子更改为+1：

           9(+1?)
          /       \
        7 (0?)    10 (0)
       /   \
   6(+1)   8(0)
   /
 3(0)

类似地，7的左子树在高度上增长，因此其平衡因子应该递增：

           9(+1?)
          /       \
        7 (+1)    10 (0)
       /   \
   6(+1)   8(0)
   /
 3(0)

最后，9的左子树增长了一个，这就是：

           9(+2!)
          /       \
        7 (+1)    10 (0)
       /   \
   6(+1)   8(0)
   /
 3(0)

在这里我们发现9的平衡因子为+2，这意味着我们需要进行轮换。咨询Wikipedia's great table of all AVL tree rotations，我们可以看到，我们的平衡因子为+2，其中左孩子的平衡因子为+1。这意味着我们进行了正确的旋转并将7拉到了9之上，如下所示：

        7(0)
       /   \
   6(+1)     9(0)
   /       /   \
 3(0)    8(0)   10 (0)

Etvoilà！树现在已经平衡了。

请注意，当我们执行此修复过程时，我们不必查看整个树。相反，我们需要做的就是沿着访问路径查看并检查那里的每个节点。通常，在实现AVL树时，插入过程将执行以下操作：

如果树为空：
- 插入余额为0的节点。
- 返回树高增加1。
否则：
- 如果要插入的值与当前节点匹配，则不执行任何操作。
- 否则，递归地将节点插入到正确的子树中，并获得树高已经改变的数量。
- 根据子树高度更改的数量更新此节点的余额系数。
- 如果要求进行一系列旋转，请执行它们。
- 返回此树高度的结果更改。

由于所有这些操作都是本地的，所以完成的工作总是完全基于访问路径的长度，在这种情况下是O（log n），因为AVL树总是平衡的。

希望这有帮助！

PS：你最初的例子是这棵树：

请注意，此树实际上不是合法的AVL树，因为根节点的平衡因子是+2。如果使用AVL算法始终保持树平衡，则永远不会遇到这种情况。

你怎么知道在AVL树中进行旋转的位置？

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