Question

众所周知，从AVL树中删除可能会导致多个节点最终失去平衡。我的问题是，最小尺寸的AVL树是什么，需要2次旋转（我假设左右或左右旋转是1次旋转）？我目前有一个包含12个节点的AVL树，其中删除会导致2次旋转。我的AVL树按此顺序插入：

8,5,9,3,6,11,2,4,7,10,12,1。

如果删除10，则9变得不平衡并发生旋转。在这样做时，8变得不平衡并且发生另一次旋转。是否有一个较小的树，删除后需要2次旋转？

在阅读了jpalecek的评论之后，我真正的问题是：给定一些常数k，删除1次后具有k个旋转的最小尺寸AVL树是什么？

Answer 1

在最坏的情况下，四个节点的树需要单个旋转。最坏情况下的删除次数会随着列表中的每个术语而增加：4,12,33,88,232,609,1596,4180,10945,28656 ......

这是Sloane's A027941，是一个Fibonacci类型序列，可以使用N(i)=1+N(i-1)+N(i-2)生成i>=2, N(1)=2, N(0)=1。

要知道为什么会这样，首先请注意，旋转不平衡的AVL树会使其高度降低一，因为它的较短的腿会因长腿而延长。

当从AVL树中删除节点时，AVL算法会检查所有已删除节点的祖先以进行潜在的重新平衡。因此，为了回答您的问题，我们需要识别具有给定高度的最小节点数的树。

在这样的树中，每个节点都是叶子或平衡因子为+1或-1：如果节点的平衡因子为零，则意味着可以在不触发重新平衡的情况下删除节点。我们知道重新平衡可以缩短树木。

下面，我展示了一组最坏情况的树。您可以看到，在序列中的前两个树之后，每个树都是通过连接前两个树构建的。您还可以看到每个树中的每个节点都是叶子或具有非零平衡因子。因此，每棵树的节点数都有最大高度。

对于每棵树，在最坏的情况下，左子树中的移除将导致旋转，最终将该子树的高度减少一。这样可以平衡整个树。另一方面，从右子树中移除节点可能最终使树不平衡，导致根的旋转。因此，正确的子树是最重要的。

在最坏的情况下，您可以验证树（c）和树（d）在移除时有一次旋转。

树（c）在树（e）中显示为右子树，而树（d）在树（f）中显示为右子树。当在树（c）或（d）中触发旋转时，这会缩短树，从而导致树（d）和（f）中的根旋转。显然，序列仍在继续。

如果计算树中的节点数，则与原始语句匹配并完成校样。

（在下面的树中删除突出显示的节点将导致新的最大旋转次数。）

Worst-case AVL trees

Answer 2

我不擅长证明，我确信下面有很多漏洞，但也许它会激发一些积极的东西。

要在删除节点后在最小化的AVL树上实现k旋转，必须满足以下条件：

目标节点必须存在于4节点子树中。
目标节点必须位于短分支上，或者必须是子树的根，并由短分支的叶子替换。
目标子树根的祖先中的每个节点必须略微失衡（平衡因子为+/- 1）。也就是说 - 当遇到平衡因子0时，旋转链将停止。

使用以下等式计算最小化树的节点的高度和数量。

设H（k）=受k旋转影响的树的最小高度。
```
H(k) = 2k + 1, k > 0
```
设N（h）=高度为h的（最小节点）AVL树中的节点数。
```
N(0) = 0
N(1) = 1
N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1, h > 1
```
设F（k）=受k个旋转影响的树中的最小节点数。
```
F(k) = N(H(k))
```

（例如：）

k = 1, H(k) = 4, N(4) = 7
k = 2, H(k) = 6, N(6) = 20

证明（例如）

最小高度

删除只能导致具有4个或更多节点的树的旋转。

1个节点的树必须具有平衡因子0。
2个节点的树必须具有+/- 1的平衡因子，并且删除会导致1个节点的平衡树。
3个节点的树必须具有平衡因子0.删除节点会导致平衡因子为+/- 1并且不会发生旋转。
因此，从少于4个节点的树中删除不会导致轮换。

在删除时发生1次旋转的最小子树是4个节点，其高度为3.删除短边节点将导致旋转。同样，删除根节点，使用短边上的节点作为替换将导致旋转。树的配置方式无关紧要：

  B        B     Removal of A or replacement of B with A               
 / \      / \    results in rotation. No rotation occurs
A   C    A   D   on removal of C or D, or on replacement 
     \      /    of B with C.
      D    C     

    C      C     Removal of D or replacement of C with D
   / \    / \    results in rotation. No rotation occurs
  B   D  A   D   on removal of A or B, or on replacement
 /        \      of C with B. 
A          B

从4节点树中删除会生成高度为2的平衡树。

  .
 / \
.   .

要实现第二次旋转，目标树必须具有高度为4的兄弟，因此根的平衡因子为+/- 1（因此高度为5）。如果受影响的树位于父节点的右侧或左侧，并且兄弟树的布局也不重要（也就是说，H4的H3子节点可以在左侧或右侧，并且可以是任何上面的4个方向，而H2儿童可以是2个可能的方向中的任何一个 - 这需要证明）。

   _._              _._
  /   \            /   \
(H4)   .          .   (H4)
      / \        / \
     .   .      .   .
          \          \
           .          .

很明显，第三次轮换要求受影响树的祖父母同样不平衡+/- 1，而第四轮要求大祖父母不平衡+/- 1，依此类推。

根据定义，子树的高度是每个分支的最大高度加上一个根的高度。一个兄弟必须比另一个兄弟高一个才能在根中达到+/- 1不平衡。

H(1) = 3 (as observed above)
H(k) = 1 + max(H(k - 1), H(k - 1) + 1)) = 1 + H(k - 1) + 1 = H(k - 1) + 2
... Inductive proof leading to H(k) = 2k + 1 eludes me.

最小节点

根据定义，子树中的节点数是左分支中的节点数加上右分支中的节点数加上根的节点数。
同样是定义，高度为0的树必须有0个节点，高度为1的树必须没有分支，因此必须有1个节点。
上面显示的是，一个分支必须比另一个分支短一些。

设N（h）=创建高度树h所需的最小节点数：

N(0) = 0
N(1) = 1
// the number of nodes in the two subtrees plus the root
N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1

推论

最小节点数不一定是大树中的最大数。即：

从以下树中删除A并观察旋转后高度不会改变。因此，父母的平衡因子不会改变，也不会发生额外的轮换。

  B          B           D
 / \          \         / \
A   D    =>    D   =>  B   E  
   / \        / \       \    
  C   E      C   E       C

然而，在k = 2的情况下，如果H（4）在这里被最小化并不重要 - 第二次旋转仍然会发生。

   _._              _._
  /   \            /   \
(H4)   .          .   (H4)
      / \        / \
     .   .      .   .
          \          \
           .          .

问题

目标子树的位置是什么？显然，对于k = 1，它是根，对于k = 2，如果根的平衡因子是-1，则为左，否则为右。是否存在用于确定k> = 3的位置的公式
树可以包含哪些最大节点以实现k轮换？是否有可能在祖先中有一个未旋转的中间节点，尽管它的父节点是？

删除导致2次旋转的最小尺寸AVL树是什么？

2 个答案:

证明（例如）

推论

问题