Epanechnikov多变量密度

Question

我的数据由大小为1x5的向量组成，每个向量代表一个pikel：[x,y,r,g,b]，x和y是位置：0 <= x <= M，{{1} }。 0 <= y <= N是像素的颜色：r,g,b。

我想使用多变量Epanechnikov核估计密度估计。我读到基本上有两种方法可以做到：

1. 乘法方法 - 计算每个维度的内核，然后将它们相乘。
2. 计算向量的范数并计算该值的内核。

这两种方法中的每种方法究竟如何处理我的数据？知道Epanechnikov内核为标准化值0 <= r,g,b <= 255或> 1得出0，我需要进行标准化。

我用C ++编程。

Answer 1

  

  
1. 乘法方法 - 计算每个维度的内核，然后将它们相乘。
  
2. 计算向量的范数并计算该值的内核。
  

1. 假设您的x变量和y是statistically independent，但不适用于2.另一方面，2。是径向对称的内核。

  

这两种方法中的每种方法究竟如何处理我的数据？

我会尝试两者并看看哪一个给出了更好的结果（例如哪一个给出了数据的更好的可能性，但注意不要过度拟合数据，例如通过使用cross validation）。

在最基本的形式中，这意味着您拆分样本，使用一个部分来计算密度估计函数（即将核心置于数据点周围）并评估另一部分的可能性（密度估计值的乘积）在用于测试的点处起作用或更好地记录概率乘积的对数）并查看哪一个在“其他”样本上给出了更高概率的乘积（未用于计算估计的那个）。

相同的参数（交叉验证）也适用于内核宽度的选择（'缩放因子'，使内核变窄或变宽）。

您当然可以手动选择内核宽度来开始。选择内核宽度太小会产生“尖峰”密度估计，选择太大会“清除”数据的重要特征。

  

我知道Epanechnikov内核的归一化值为0时，我需要进行标准化操作＆gt; 1或者＆lt; -1

您提到的功能与规范化无关。您应该为内核本身使用规范化表达式，即内核为非零的范围内的积分应为1。对于你的情况1.，如果1D内核被标准化（例如3/4*(1-u^2)上的[-1..1]就是这种情况，那么2D产品也将被标准化。对于情况2.必须计算2D积分。

假设内核已标准化，那么您可以按如下方式对密度估计进行标准化：



其中N是数据点的数量。这将被归一化，即p(x,y)在2D平面上的积分为1。

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请注意，您提到的这两种功能形式都不允许任意covariance matrices。解决此问题的一种方法是首先“去相关”数据集（即应用矩阵变换，使数据集的协方差矩阵成为单位矩阵），然后执行密度估计，然后应用逆变换。

此外还有adaptive kernel density estimation等扩展程序，其中内核的宽度随x和y的变化而变化，如果在某些时候您想要优化估算等。