二阶系统的中点欧拉方法，无法使其工作

Question

我需要绘制这个简单的系统：

x''= -x

使用中点欧拉。

u1 = -x，u2 = -x'

u1'= u2
u2'= -x

u1（n + 1）= u1（n）+ h *？
u2（n + 1）= u2（n）+ h * f（（1/2）*（u1（n）+ u1（n + 1））

我们不知道u1（n + 1）。我尝试用u1（n + 1）= u1（n）+ h * u2（n）来近似它

u2（1 + i）= u2（i）+ h *（（ - 1/2）*（u1（n）+ u1（n + 1））

然后我们有u2（i + 1）和u2（i）。中点值是（u2（1 + i） - u（i））/ 2

u1（q + i）= u1（i）+ h * midpoint

当我绘制这个时，结果是一些可怕的分歧线，而不是振荡功能。怎么了？

clear all, close all, clc

h = 0.0005; % steplength
nos = 500000; % number of steps

x = zeros(1,nos);
xp = zeros(1,nos);
energy=zeros(1,nos);

% Starting positions
x(1) = 1;
xp(1) = 0;

for i=1:nos-1    



    xpp = -x(i);

    xTAYLOR = x(i) + h*xp(i);

    xp(1+i) = x(i) + (-1*((1/2)*(x(i) + xTAYLOR)));

    xpHALF = (xp(1+i) - x(i))/2;

    x(1+i) = x(i) + h*xpHALF;


end

plot(x)

Answer 1

好吧，也许我受伤了，但我看到问题是如何构成的一个小问题。

u1 = -x , u2 = -x'

u1' = u2
u2' = -x

让我试一试：

u1 = -x
u2 = -x'

u1' = -x' = u2
u2' = -x'' = x = -u1

当我这样做的时候，我会得到一些甜蜜的甜蜜的声音！这是我的尝试，仅使用ode45，但您应该在符号更改方面有类似的运气。

[t2,y2] = ode45(@(t,x) [x(2) -x(1)]',[0 250],[0 1]);

HTH !!