Monoid与MonadPlus

Question

我对Monads和Monoids都很陌生，最近还了解了MonadPlus。从我看到，Monoid和MonadPlus都提供了一个带有关联二进制操作和标识的类型。 （我用数学术语称这是一个半群。）那么Monoid和MonadPlus之间有什么区别？

Answer 1

semigroup是配备有关联二进制运算的结构。 monoid是半群，具有二进制操作的标识元素。

Monads和semigroups

每个monad必须遵守the monad laws。对于我们的案例，重要的是相关性法则。使用>>=表示：

(m >>= f) >>= g     ≡   m >>= (\x -> f x >>= g)

现在让我们应用这个法则来推断>> :: m a -> m b -> m b：

的相关性

(m >> n) >> p       ≡ (m >>= \_ -> n) >>= \_ -> p
                    ≡ m >>= (\x -> (\_ -> n) x >>= \_ -> p)
                    ≡ m >>= (\x -> n >>= \_ -> p)
                    ≡ m >>= (\x -> n >> p)
                    ≡ m >> (n >> p)

（我们选择了x，因此它不会出现在m，n或p中。

如果我们将>>专门化为m a -> m a -> m a类型（用b代替a），我们会看到适用于任何类型a的操作>>在m a上形成半群。由于任何a都是如此，我们得到一个由a索引的半群。但是，它们通常不是幺半群 - 我们没有>>的身份元素。

MonadPlus和monoids

MonadPlus又添加了两项操作mplus和mzero。 MonadPlus laws明确声明mplus和mzero必须在m a上为任意a形成一个幺半群。同样，我们得到了一类由a索引的幺半群。

请注意MonadPlus和Monoid之间的区别：Monoid表示某些单一类型符合幺半群规则，而MonadPlus表示所有可能的a类型m a满足幺半群定律。这是一个更强大的条件。

因此，MonadPlus实例形成两种不同的代数结构：一类具有>>的半群和一类具有mplus和mzero的幺半群。 （这不是一种不常见的事情，例如，大于零的自然数集{1,2,...}与+和×以及1形成一个半群。）

Answer 2

如果我们MonadPlus m成立，那么您说m是Monad，而是m a（应用a产生的类型类型＆＃34;函数＆＃34; m）是一个幺半群。

如果我们定义（类似于Data.Monoid的定义，但我们稍后会使用它）

class                Semigroup a where  (<>) :: a -> a -> a
class Semigroup a => Monoid    a where  zero :: a

然后它有

mzero :: MonadPlus m => m a
mplus :: MonadPlus m => m a -> m a -> m a

具有相当类型和适当的法律

-- left and right identity
mplus a     mzero   ==   a
mplus mzero a       ==   a

-- associativity
(a `mplus` b) `mplus` c   ==   a `mplus` (b `mplus` c)

如果我们使用Monoid

，我们甚至可以定义Haskell -XFlexibleInstances

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}
instance MonadPlus m => Semigroup (m a) where  (<>) = mplus
instance MonadPlus m => Monoid    (m a) where  zero = mzero

虽然这些与Data.Monoid中的实例严重重叠，这可能是它不是标准实例的原因。

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像这样的幺半群的另一个例子是来自Alternative m => m a的{​​{1}}。

Answer 3

我必须强调非常重要的区别：与Monoid不同，与其他答案不同，MonadPlus 不提供具有关联二进制操作和身份的类型。 Haskell报告，唯一可以声明标准状态的文件，没有规定MonadPlus的法律，因此不要求mplus是关联的或mzero 成为它的左或右单位。也许作者仍在辩论法律：mplus有很好的理由不是联想的。例如，如果mplus是关联的但非交换的，那么由MonadPlus表示的非确定性搜索计算可能不完整（即，存在我们无法找到的解决方案）。由于mplus很少是可交换的，所以如果我们坚持关联性，任何完整的非确定性搜索过程都不能由MonadPlus表示。关于SC的MonadPlus法律问题进行了详细讨论：Must mplus always be associative