搜索具有大于给定元组的所有元素的元组

Question

考虑以下元组列表： [（5,4,5），（6,9,6），（3,8,3），（7,9,8）]

我正在尝试设计一个算法来检查列表中是否存在至少一个元组，其中该元组的所有元素都大于或等于给定元组（针）。

例如，对于给定的元组（6,5,7），算法应返回True，因为给定元组中的每个元素都小于列表中的第一个元组，即（5,5,5）。但是，对于给定的元组（9,1,9），算法应该返回False，因为列表中没有元组，其中每个元素都大于给定的元组。特别是，这是由于给定元组的第二个元素1，它小于列表中所有元组的第二个元素。

一个朴素的算法将逐个循环遍历列表中的元组，并循环遍历内循环中元组的元素。假设有n个元组，每个元组都有m个元素，这将给出O（nm）的复杂度。

我在想是否有可能使用算法来生成复杂度较低的任务。允许预处理或任何用于存储数据的奇特数据结构！

我最初的想法是利用二进制搜索的一些变体，但我似乎无法找到一个数据结构，一旦我们根据第一个元素消除了一些元组，我们就不会回到天真的解决方案，这意味着该算法最终也可能是O（nm）。

谢谢！

Answer 1

请考虑此问题的2元组版本。每个元组（x，y）对应于平面上的轴对齐矩形，其右上角为（x，y），右下角为（-oo，+ oo）。该集合对应于这些矩形的并集。给定一个查询点（针），我们只需确定它是否在联合中。知道边界就足够了。这是一条与轴对齐的折线，相对于x在y中单调不增加：x方向上的“向下楼梯”。使用任何合理的数据结构（例如多段线上的x排序点列表），可以很容易地在O（log n）时间内为n个矩形做出决策。不难看出如何通过一次插入一个矩形来构造O（n log n）时的折线，每个矩形都具有O（log n）的作用。

这里是可视化。这四个点是输入元组。蓝线左下方的区域对应于“ True”返回值：

组合A，B，C影响边界。元组D没有。

所以问题是，该2元组版本是否可以很好地推广到3。将半无限轴对齐的矩形的并集改为矩形棱镜的并集。边界折线变为3d曲面。

存在一些表示此类问题的常用方法。一个是作为八叉树。计算八叉树的并集是一种众所周知的标准算法，效率很高。查询一个成员资格需要O（log k）时间，其中k是其中包含的最大整数坐标范围。这可能是最简单的选择。但是如果整数域很大，八叉树可能会相对较慢并占用大量空间。

另一个没有这些弱点的候选对象是二进制空间分区，它可以处理任意尺寸。 BSP使用维度为n-1的（超）平面来递归拆分n-d空间。一棵树描述了平面的逻辑关系。在此应用程序中，每个元组需要3个平面。由平面引起的“真”半空间的交集将是对应于元组的真半无限棱镜。查询针正在遍历树，以确定您是否在任何棱镜内。 BSP的平均情况行为非常好，但是树的最坏情况大小是可怕的：O（n）在大小为O（2 ^ n）的树上的搜索时间。在实际应用中，从随机插入顺序开始，使用技巧在创建时查找大小适中的BSP。

K-d树是可以适用于此问题的另一种基于树的空间分区方案。但是，这将需要一些工作，因为k-d树的大多数表示方式都与搜索点有关，而不是代表区域。它们具有与BSP相同的最坏情况行为。

另一个坏消息是这些算法不适用于大于3的元组。树很快变得太大。搜索高维空间非常困难，并且是积极研究的主题。但是，由于您没有说任何有关元组长度的信息，因此我在这里停止。

Answer 2

spatial indexing系统解决了这类问题。有许多数据结构可以让您的查询有效执行。

Answer 3

设S是每个m元组的原始n组的topologically-sorted副本。然后我们可以对S中的任何测试元组使用二进制搜索，每次搜索的代价为O（m ln n）（由于每层最多lg n个搜索层，每层最多m个比较）。

注意，假设在S中存在元组P，Q，使得P≤Q（即，没有Q的元素小于P的对应元素）。然后可以从S中移除元组Q.在实践中，这通常可以将S的大小减小到m的小倍数，这将给出O（m ln m）的性能;但在最坏的情况下，根本不提供任何减少。

Answer 4

试图回答
all corresponding elements greater than or equal to a given tuple (needle)
（将 y 和 z 用于集合/干草堆栈的成员，将 x 用于查询元组/针和 x ll y < / em>当所有ₐ的xₐ≤yₐ时（ x占主导地位的 ）

• 计算告知摘要信息，例如所有元组元素的min，sum和max
• 通过选择性排序条件
• 淘汰主导元组
• 构建k-d树
• 使用上下边界框结束：
  一个由每个元素的最小值组成的元组 lower （如果 lower 支配 x 返回True）
  和 upper 包含最小值：如果 x 占优 upper
，则返回False