Question

我正试图在Coq中写下Eratosthenes的筛子。我有一个函数crossout : forall {n:nat}, vector bool n -> nat -> vector bool n。当筛子找到一个素数时，它使用crossout标记所有非素数的数字，然后对结果向量进行递归。筛子显然不能在向量本身上在结构上递归，但它在向量的长度上在结构上是递归的。我想要的是做这样的事情：

Fixpoint sieve {n:nat} (v:vector bool n) (acc:nat) {struct n} : list nat :=
  match v with
    | [] => Datatypes.nil
    | false :: v' => sieve v' (S acc)
    | true :: v' => Datatypes.cons acc (sieve (crossout v' acc) (S acc))
  end.

但如果我这样写，Coq抱怨v'的长度不是n的子项。我知道它是，但无论我如何构建函数，我似乎无法说服Coq它是。有谁知道我怎么做？

Answer 1

这是Coq中依赖类型最常见的陷阱之一。直觉上发生的事情是，只要您在v上进行模式匹配，Coq就会“忘记”该向量的长度实际为n，并且失去v'长度之间的连接和n的前身。这里的解决方案是应用Adam Chlipala所谓的护航模式，并使模式匹配返回一个函数。虽然可以通过v上的模式匹配来实现，但我认为通过n上的模式匹配更容易实现：

Require Import Vector.

Axiom crossout : forall {n}, t bool n -> nat -> t bool n.

Fixpoint sieve {n:nat} : t bool n -> nat -> list nat :=
  match n with
    | 0 => fun _ _ => Datatypes.nil
    | S n' => fun v acc =>
                if hd v then
                  Datatypes.cons acc (sieve (crossout (tl v) acc) (S acc))
                else
                  sieve (tl v) (S acc)
  end.

注意sieve的标题如何发生了一些变化：现在返回类型实际上是一个帮助Coq类型推断的函数。

有关更多信息，请查看Adam的书：http://adam.chlipala.net/cpdt/html/MoreDep.html。

依赖参数的结构递归

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