Question

我刚刚完成了Project Euler问题9（警告剧透）：

A Pythagorean triplet is a set of three natural numbers, a < b < c, for which,
a^2 + b^2 = c^2

For example, 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.

There exists exactly one Pythagorean triplet for which a + b + c = 1000.
Find the product abc.

这是我的解决方案：

public static int specPyth(int num)
{
    for (int a = 1; a < num; a++)
        for (int b = 2; b < a; b++)
            {
                if (a*a +b*b == (num-a-b)*(num-a-b))
                    return a*b*(num-a-b); //ans = 31875000 
            }

    return -1;
}

我不禁想到有一个只涉及一个循环的解决方案。有人有想法吗？我更喜欢只使用一个循环的答案，但任何比我现有的效率更高的东西都会很好。

Answer 1

if a + b +c = 1000

然后

 a + b + sqroot(a² + b²) = 1000

 -> (a² + b²) = (1000 - a - b)²

 -> a² + b² = 1000000 - 2000*(a+b) + a² + 2*a*b + b²

 -> 0 = 1000000 - 2000*(a+b) + 2*a*b

 -> ... (easy basic maths)

 -> a = (500000 - 1000*b) / (1000 - b)

然后你尝试每一个b，直到你找到一个自然数字出来的。

public static int specPyth(int num)
    {
        double a;
        for (int b = 1; b < num/2; b++)
        {
            a=(num*num/2 - num*b)/(num - b);

            if (a%1 == 0)
                return (int) (a*b*(num-a-b));
        }   

        return -1;
    }

编辑：b不能高于499，因为c> b和（b + c）将高于1000.

Answer 2

我强烈建议您阅读http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple并编写一个能够逐一生成毕达哥拉斯三元组的函数。

不要给太多的剧透，但是还有很多其他的PE问题，这个功能会派上用场。

（我不认为这太过分了，因为PE的部分目的是鼓励人们学习这样的事情。）

Answer 3

首先，由于a是最小的，你不需要将它计数到num，num / 3就足够了，甚至是num /（2 + sqrt（2））。第二，有一个和约束

a+b+c=num
a^2+b^2=c^2

我们可以求解这个方程并找到给定a的b和c，它已经满足这个方程式，并且不需要像现在那样检查^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2。您只需要检查b和c是否为整数。这是在一个循环中完成的

for (int a = 1; a < num/3; a++)

Answer 4

运行62毫秒

    import time
    s = time.time()
    tag,n=True,1000
    for a in xrange (1,n/2):
        if tag==False:
            break
        for b in xrange (1,n/2):
            if a*a + b*b - (n-a-b)*(n-a-b) ==0:
                print a,b,n-a-b
                print a*b*(n-a-b)
                tag=False
    print time.time() - s

Answer 5

C解决方案

警告：解决方案假设GCD（a，b）= 1.它在这里工作但可能并不总是有效。我会在一段时间内修复解决方案。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
  int n = 1000;         // a + b + c = n
  n /= 2;

  for(int r = (int) sqrt(n / 2); r <= (int) sqrt(n); r++)
  {
    if(n % r == 0)
    {
      int s = (n / r) - r;
      printf("%d %d %d\n", r*r - s*s, 2*r*s, r*r + s*s);
      printf("Product is %d\n", (2*r*s) * (r*r - s*s) * (r*r + s*s));
    }
  }

  return 0;
}

解决方案对三元组使用Euclid's formula，表示任何原始三元组的形式为a = r ^ 2 - s ^ 2，b = 2rs，c = r ^ 2 + s ^ 2.

可以基于s为正且r> 1的事实来添加诸如sqrt（n / 2）＆lt; = r＆lt; = sqrt（n）的某些限制。第

警告：如果产品很大，您可能需要很长时间

Answer 6

您说a < b < c，然后b必须始终大于a，因此您在第二个循环中的起点可能是b = a + 1;这肯定会导致更少的迭代。

int specPyth(int num)
{
    for (int a = 1; a < num/3; a++)
        for (int b = a + 1; b < num/2; b++)
        {
            int c = num - a - b;
            if (a * a + b * b == c * c)
                return a * b * c; //ans = 31875000 
        }

    return -1;
}

Answer 7

绝对不是最理想的解决方案，但我的第一直觉是使用修改后的3SUM。在Python中，

def problem_9(max_value = 1000):
    i = 0
    range_of_values = [n for n in range(1, max_value + 1)]
    while i < max_value - 3:
        j = i + 1
        k = max_value - 1
        while j < k:
            a = range_of_values[i]
            b = range_of_values[j]
            c = range_of_values[k]
            if ((a + b + c) == 1000) and (a*a + b*b == c*c):
                return a*b*c
            elif (a + b + c) < 1000:
                j += 1
            else:
                k -= 1
        i += 1
    return -1

Answer 8

在第一个给定的等式中，您有三个变量a, b, c。如果要查找此等式的匹配值，则必须运行3维循环。幸运的是，还有另一个等式a+b+c=N，其中N是已知数字。

使用此功能，您可以将尺寸减小到两个，因为如果您知道三个中的两个，则可以计算其余部分。例如，如果您知道a和b，则c等于N - a - b。

如果你可以减少循环的另一个维度怎么办？如果你摆弄两个给定的方程式就有可能。得到一支笔和纸。一旦获得具有两个变量和一个常数（N）的附加等式，您将能够在O(n)中获得结果。求解a+b+c=n; a^2+b^2=c^2两个方程n，使a和b保持不变，求解c和public static void main(String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); int t = in.nextInt(); for(int a0 = 0; a0 < t; a0++){ int n = in.nextInt(); int max=-1; int multi=0; int b=1,c=1; for(int i=1;i<=n;i++) { if(2*(i-n)!=0) b=(2*i*n-(n*n))/(2*(i-n)); c=n-b-i; if( (i*i+b*b==c*c)&& i+b+c==n && b>0 && c>=0 && i+b>c && c+i>b && b+c>i) { multi=i*b*c; if(max<multi) max=multi; } } if(max==-1) System.out.println(-1); else System.out.println(max); } }：

page.tpl.php

我能否使这个功能更有效（Project Euler Number 9）？

8 个答案: