二进制搜索对于均匀分布非常有效。列表中的每个成员都有相同的“命中”概率。这就是你每次尝试中心的原因。
是否存在无均匀分布的有效算法？例如1 / x分布后的分布。
答案 0 :(得分：9)
二进制搜索和二叉树之间存在深层联系 - 二叉树基本上是一个“预先计算的”二分搜索，其中切割点由树的结构决定，而不是被选为搜索运行。事实证明，处理每个密钥的概率“权重”有时是用二叉树来完成的。
一个原因是因为它是一个相当普通的二叉搜索树，但事先已知，并且具有查询概率的知识。
Niklaus Wirth在他的“算法和数据结构”一书中介绍了这一点，有几个变体（一个用于Pascal，一个用于Modula 2，一个用于Oberon），其中至少有一个可以从他的{{3 }}
二进制树并不总是二叉树搜索树，而二元树的一种用途是导出web site。
无论哪种方式，二叉树都是通过从叶子分开开始构建的，并且在每一步中，将两个最不可能的子树连接成一个更大的子树，直到只剩下一个子树。为了在每个步骤中有效地选择两个最不可能的子树，使用优先级队列数据结构 - 可能是Huffman compression code。
构建一次然后从未修改过的二叉树可以有多种用途，但可以有效更新的二叉树更有用。有一些权重平衡的二叉树数据结构，但我不熟悉它们。注意 - 通常使用术语“权重平衡”，其中每个节点始终具有权重1，但子树权重近似平衡。其中一些可能适用于不同的节点权重，但我不确定。
无论如何，对于数组中的二进制搜索，问题在于可能使用任意概率分布，但效率低下。例如，您可以拥有一个running-total-of-weights数组。对于二进制搜索的每次迭代，您需要确定中途概率分布点，因此确定其值，然后搜索running-total-of-weights数组。您可以获得主要二进制搜索的完美重量平衡的下一个选择，但您必须对运行的总数组进行完整的二进制搜索才能完成。
但是，如果您可以在不搜索已知概率分布的情况下确定加权中点，则该原则有效。原理是相同的 - 你需要概率分布的积分（替换运行的总数组），当你需要一个中点时，你选择它来获得积分的精确中心值。这更像是代数问题，而不是编程问题。
像这样的加权二分搜索的一个问题是最差情况下的性能更差 - 通常是由常数因素决定，但是，如果分布足够偏差，您可能最终会有效地进行线性搜索。如果您的假设分布是正确的，尽管偶尔会有慢速搜索，但平均情况下的性能会有所提高，但如果您的假设分布错误，那么当许多搜索针对根据该分布不太可能的项目时，您可以为此付费。在二叉树形式中，“不太可能”的节点比根在简单平衡（假设的平坦概率分布）二叉树中的节点更远。
平坦概率分布假设即使完全错误也能很好地工作 - 最坏的情况是好的，并且最佳和平均情况必须至少在定义上是好的。如果实际查询概率与您的假设有很大不同，那么从平面分布中移动得越远，情况就越糟糕。
答案 1 :(得分：4)
让我准确一点。你想要二进制搜索的是：
Given array A which is sorted, but have non-uniform distribution
Given left & right index L & R of search range
Want to search for a value X in A
To apply binary search, we want to find the index M in [L,R]
as the next position to look at.
Where the value X should have equal chances to be in either range [L,M-1] or [M+1,R]
一般来说，你当然想要选择M，你认为X值应该在A中。 因为即使你错过了，总机会的一半也会被消除。
所以在我看来你对发行有一些期待。 如果你能告诉我们你的'1 / x发行'是什么意思，那么 也许有人可以帮助我建立你的建议。
让我举一个有效的例子。
我将使用@ 1 / x发行版的类似解释为@Leonid Volnitsky
这是一个生成输入数组A
from random import uniform
# Generating input
a,b = 10,20
A = [ 1.0/uniform(a,b) for i in range(10) ]
A.sort()
# example input (rounded)
# A = [0.0513, 0.0552, 0.0562, 0.0574, 0.0576, 0.0602, 0.0616, 0.0721, 0.0728, 0.0880]
假设要搜索的值是：
X = 0.0553
然后估计的X指数为：
= total number of items * cummulative probability distribution up to X
= length(A) * P(x <= X)
那么如何计算P(x <= X)？
这种情况很简单。
我们将X反转回[a，b]之间的值，我们称之为
X' = 1/X ~ 18
因此
P(x <= X) = (b-X')/(b-a)
= (20-18)/(20-10)
= 2/10
所以X的预期位置是：
10*(2/10) = 2
嗯，这非常准确！
重复预测A的每个给定部分中X的位置的过程需要更多的工作。但我希望这足以说明我的想法。
我知道可能不再是二进制搜索了 如果你只需一步就能得到答案。 但是承认，如果您知道输入数组的分布，这就是可以做的事情。
答案 2 :(得分：3)
二进制搜索的目的是，对于已排序的数组，每次数组的一半时，最小化最坏情况，例如：您可以执行的最差检查次数是log2（条目）。如果您进行某种“不均匀”二分搜索，将数组划分为越来越大的一半，如果元素总是在较大的一半，则可能会出现更糟糕的最坏情况行为。所以，我认为二进制搜索仍然是最好的算法，无论预期的分布如何，只是因为它具有最好的坏情况行为。
答案 3 :(得分：3)
你有一个条目向量，比如说[x1, x2, ..., xN]，你知道在你拥有的向量上，查询的分布是以概率1/x给出的。这意味着您的查询将使用该分发进行，即在每次咨询时，您将更有可能获取元素xN。
这会导致您的二进制搜索树在考虑您的标签时得到平衡，但不会对搜索强制执行任何策略。此策略的一个可能的变化是放宽平衡二叉搜索树的约束 - 在父节点左侧较小，向右较大 - 并且实际选择父节点作为具有较高概率的节点，以及他们的子节点是两个最可能的元素。
请注意，不是二进制搜索树，因为您不是在每个步骤中将搜索空间除以2，而是根据搜索模式分布重新平衡树。这意味着您最糟糕的搜索情况可能会达到O(N)。例如，拥有v = [10, 20, 30, 40, 50, 60]：
30
/ \
20 50
/ / \
10 40 60
可以使用您的函数f(x) = 1 / x重新排序或重新平衡：
f([10, 20, 30, 40, 50, 60]) = [0.100, 0.050, 0.033, 0.025, 0.020, 0.016]
sort(v, f(v)) = [10, 20, 30, 40, 50, 60]
进入新的搜索树，如下所示：
10 -------------> the most probable of being taken
/ \ leaving v = [[20, 30], [40, 50, 60]]
20 30 ---------> the most probable of being taken
/ \ leaving v = [[40, 50], [60]]
40 50 -------> the most probable of being taken
/ leaving v = [[60]]
60
如果您搜索10，则只需要进行一次比较，但如果您正在寻找60，则会执行O(N)次比较，但不会将此作为二分搜索。正如@ Steve314所指出的那样，你从一棵完全平衡的树中走得越远，你最糟糕的搜索情况就越糟糕。
答案 4 :(得分：2)
我将从您的描述中假设：
Y=1/X是您要搜索的数据，它存储在已排序的表格中二进制搜索通常使用范围中心（中位数）的值。对于均匀分布，可以通过了解表中我们需要查找搜索值的大致位置来加速搜索。
例如，如果我们在[0,1]范围内具有均匀分布的值且查询是0.25，则最好不要在范围的中心，而是在范围的第一个四分之一。
要对 1 / X 数据使用相同的技术，请在表格中存储 Y ，但反向 1 / Y 。不是搜索 y ，而是搜索反向值 1 / y 。
答案 5 :(得分：1)
对于预期条件下均匀分布的密钥，未加权的二进制搜索甚至不是最佳的，但它是最坏情况下的术语。
比例加权二进制搜索（我已经使用了几十年）为统一数据做了你想要的，并且通过对其他分布应用隐式或显式变换。排序的哈希表是密切相关的（我已经知道了几十年但从未打扰过尝试它）。
在本讨论中，我将假设数据是从1..N和1..N索引的大小为N的数组中统一选择的。如果它有不同的解决方案，例如一个Zipfian分布，其值与1 / index成比例，你可以应用反函数来展平分布，或者Fisher变换通常会有所帮助（见维基百科）。
最初你有1..N作为界限，但实际上你可能知道实际的Min..Max。在任何情况下，我们都假设我们当前搜索的索引范围[L..R]总是有一个闭区间[Min，Max]，最初这是O（N）。 我们正在寻找关键K并希望索引I以便
[I-R] / [K-Max] = [L-I] / [Min-K] = [L-R] / [Min-Max]，例如I = [R-L] / [Max-Min] * [Max-K] + L。
舍入以使较小的分区变大而不是较小（以帮助最坏的情况）。预期的绝对平均误差和均方根误差<＆lt;√[R-L]（基于Poisson / Skellam或随机游走模型 - 参见维基百科）。因此，预期的步数是O（loglogN）。
最坏的情况可以通过几种方式限制为O（logN）。首先，我们可以决定我们认为可接受的常量，可能需要步骤1.继续执行上述loglogN步骤，然后使用减半将为任何此类c实现此目的。
或者，我们可以修改对数的标准基数b = B = 2，因此b> 2。假设我们取b = 8，然后有效地c~b / B.然后我们可以修改上面的舍入，这样在步骤k，最大的分区必须至多为N * b ^ -k。如果我们从考虑每个步骤消除1 / b导致最坏情况b / 2 lgN，则跟踪预期的大小。然而，这将使我们的预期情况回到O（log N），因为我们只允许每次将小分区减少1 / b。在应用受限舍入之前，我们可以通过使用小分区的简单上下文来恢复O（loglog N）期望loglogN步骤。这是合适的，因为在预期在特定值的局部突发中，分布大致是均匀的（即对于任何平滑分布函数，例如在这种情况下，Skellam，任何足够小的段近似线性，其斜率由其导数给出）该部分的中心）。
至于排序的哈希，我以为我几十年前在Knuth中读过这个，但找不到参考。该技术涉及推动而不是探测 - （可能是加权二进制）搜索以找到正确的位置或间隙然后推开以根据需要腾出空间，并且散列函数必须遵守排序。这种推动可以环绕，因此需要第二次通过桌子才能将它们全部拾取 - 跟踪Min和Max及其索引（向前或向后排序列表从一个开始并循环跟踪到另一个;然后它们也可以代替1和N作为上面搜索的初始括号;否则1和N可以用作代理项。
如果负载系数α接近1，则预期插入O（√N）对于预期的O（√N）项目，其仍然平均摊销为O（1）。这个成本预计会随着指数而呈指数下降 - 我相信（在Poisson假设下）μ~σ~√[Nexp（α）]。
上述按比例加权的二进制搜索可用于改进初始探测。