Question

我有一个有向图的外向结构：

a{f}=[d e];
a{d}=[c];
a{e}=[c h];
a{h}=[b];
a{c}=[a b];

其中a{f}=[d e]表示节点d和e是节点f的外向邻域。

现在，我的目标是确定是否存在两条路径，一条是从f到a，另一条是从f到b，其节点是不允许彼此相交？

对于这个例子，答案是肯定的，因为我们可以找到两条路径：

p1: f->d->c->a
p2: f->e->h->b

但是当我们删除图表中的边h->b时，答案是否定的，因为即使有两条路径：

p1: f->d->c->a
p3: f->e->c->b

但是，路径p3的节点c与路径p1相交。

  f
 / \
d   e
 \ / \
  c   h
 / \ /
a   b

我的问题是：是否有任何算法来检查两条路径的存在？

Answer 1

您正在寻找的是A和B的支配者，其中起始点为F的流程图。如果从V到A的每条路径都经过F，则A会占据V。因此，对于您的特定问题，您可以：

计算并浏览A的所有支配者，标记除F
计算并浏览B的所有支配者，如果标记了任何顶点：

- ＆GT; A和B至少有一个共同支配者D，因此没有两个顶点不相交（除了包含F）路径F->A和{{1可以存在，因为每个路径F->B和每个路径F->A都会通过F->B。

请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Dominator_(graph_theory)#Algorithms

Answer 2

您可以通过以下方法使用max-flow算法解决此问题：

通过将每个顶点拆分为入口顶点并退出顶点
从条目（i）到退出（i）添加边缘，每个容量为1，基于顶点i
从出口（i）到条目（j）添加边缘，对于原始图表中的每个边缘i-> j，容量为1
添加额外的终端顶点e
为每个目的地（在您的情况下退出（a）和退出（b））的出口顶点添加一条边到容量为1的顶点e
从退出（f）到e

maximum flow

当且仅当最大流量为2时，则有两条从f到a / b的顶点不相交路径。

Python代码示例

import networkx as nx
G=nx.DiGraph()
a={'f':'de','d':'c','e':'ch','h':'b','c':'ab','a':'','b':''}
for v in a:
    i='entry_'+v
    j='exit_'+v
    G.add_edge(i,j,capacity=1)
    for dest in a[v]:
        G.add_edge(j,'entry_'+dest,capacity=1)
for dest in 'ab':
    G.add_edge('exit_'+dest,'e',capacity=1)
print nx.max_flow(G,'exit_f','e')

G.remove_edge('exit_h','entry_b')
print nx.max_flow(G,'exit_f','e')

打印

2 (meaning that in the original graph there are 2 vertex disjoint paths)
1 (meaning that once we remove h->b, there is only 1 vertex disjoint path)

如何检查二分图中存在的简单路径

2 个答案:

Python代码示例