生成无效的不等式组合

Question

这是一个相当模糊的问题，但我想我会试试运气。

我需要为一组未知变量生成无效等式的无效组合。

例如，给定a，b和c，我想生成这些：

a < b && a ≥ c && b ≤ c
a ⩵ b && a ≤ c && b > c
a ⩵ b && a > c && b ≤ c
a > b && a ≤ c && b ≥ c

以上都评价为假。

我需要能够为任意数量的变量生成它们。

如何做到这一点？

Answer 1

不失一般性，所有变量都来自有限集{1,2，..，n}，其中n =变量数。
像“a _i ＆lt; a _j ”这样的每个条件实际上都是所有n ⁿ 点的有限集的子集。
因此，只需搜索具有相应子集的空交集的条件组合。

Answer 2

首先，写下以下命题：

P1: a <= b <= c <= ... <= zzz

然后写

P2: a = b = c = ... = zzz

和

P3: zzz <= a <= b <= c <= ... <= zzy

然后写

P1 & ¬P2 & P3

这是假的。

我希望你现在反驳这个解决方案不能满足你的要求。我相信它满足了您告诉我们的要求，如有必要，请告诉我们更多信息。

是的，我知道这更多是评论的本质而不是答案。

Answer 3

给定n个表示数值的变量，一组最小的无效（不可行）不等式具有以下形式：

a_1 ≥ a_2 ≥ ... ≥ a_n ≥ a_1

这些弱的不等式中的任何一个都变成了强烈的不等式>。 [注意：如果您允许不等式（斜线等于），从使用的字体中不清楚，但将其添加到弱不等式的循环中也会产生一组不可行的条件。]

这种不可行的集合可以通过几种方式加以阐述。变量可以任意置换（除了改变强不等式的位置），并且可以将额外的不等式添加到最小集合（进一步的限制保持不可行性）。作为后者的一个特例，不一致的弱不平等可以改为强烈的不平等。

另请注意，n-1个变量上任何无效的不等式都可以（被动地）扩展到n个变量的无效集。