Question

在Matlab中检查矩阵是否为对称正定的最快（运行时）方法是什么？我已经为大量稀疏矩阵运行了这个测试，其大小（维度）从10000到100000不等？

编辑：

Cholesky为我的目的付出了昂贵的代价。我首先需要进行脏检查，如果它表明矩阵可能是spd那么我可能会使用CHOL更可靠地检查那些矩阵

Answer 1

如上所述here，您可以使用chol函数检查矩阵是否为PD。

CHOL函数提供可选的第二个输出参数“p” 如果发现矩阵为正定，则为零。 CHOL 如果只提供单个函数，函数将返回错误输出参数，并且还给出了一个非正数的矩阵定。注意：CHOL期望其输入矩阵是对称的且仅对称看着矩阵的上三角部分。

对于对称性，您可以使用以下函数：

issym = @(m) isequal(tril(x), triu(x)');

Answer 2

我认为这是一个非常重要的问题。如果矩阵不是正定的，Cholesky算法将失败，因此最好自己实现，这也有一个优点，即当算法失败时，由于输入不是正定的，人们可以控制该做什么。我使用C＃而不是Matlab进行数学编程，而我的Cholesky实现只是少数几行，所以并不困难。如果你使用其他人的算法，那么根据它的实现方式，如果你输入非对称矩阵，你可能会得到误导结果，因为有些实现假设矩阵是对称的。我能想到的唯一快速预测试是检查the matrix trace，如果矩阵是SPD，这将是正数。

Answer 3

我想你可能会看一下矩阵的特征值，并检查它们是否都是不同的和真正有价值的。

因此，您可以考虑按以下方式调用eig函数：

[V,D] = eig(A)

我希望这会有所帮助

Answer 4

关于上述跟踪测试：假设矩阵A为：

//data is my double[,,] of size [160, 304, 304]

//setup MatLab code's 1:y and 1:x
int xx = data.GetLength(0);
int yy = data.GetLength(1);
double[] x = Enumerable.Range(0, xx).Select(num => (double)num).ToArray();
double[] y = Enumerable.Range(0, yy).Select(num => (double)num).ToArray();
//use Accord.Math.Matrix.MeshGrid similarly to matlab's meshgrid
var xy = Accord.Math.Matrix.MeshGrid(y, x);
//split results from tuple
var x1 = xy.Item1;
var y1 = xy.Item2;

//same thing, only LineSpace is a method I made to imitate MatLab's linspace
var xy2 = Accord.Math.Matrix.MeshGrid(y, LineSpace(1, xx, 640).ToArray());
var x2 = xy2.Item1;
var y2 = xy2.Item2;
//this is all to imitate MatLab's zeros and populate a multidimensional double array with all zeros
var interpData = new double[xx * 4, yy, data.GetLength(2)];
for (int i = 0; i < interpData.GetLength(0); i++)
    for (int j = 0; j < interpData.GetLength(1); j++)
        for (int k = 0; k < interpData.GetLength(2); k++)
            interpData[i, j, k] = 0d;



for(int bscan = 0; bscan < data.GetLength(2); bscan++)
{
    //slim down data to a dataBscan which is just the first two dimensions 
    float[,] dataBscan = new float[data.GetLength(0), data.GetLength(1)];
    for (int i = 0; i < data.GetLength(0); i++)
        for (int j = 0; j < data.GetLength(1); j++)
            dataBscan[i,j] = data[i, j, bscan];

    for (int i = 0; i < interpData.GetLength(0); i++)
        for(int j = 0; j < interpData.GetLength(1); j++)
        {
            //interpData[i,j,bscan] = ***hopefully*** interp2(x1, y1, dataBscan, x2, y2);
        }
}

然后

interp2

但是A的特征值是eig（A）

A =
    1.0000    1.6000
    1.6000    1.0000

因此，特征值并非全部为正。因此，此矩阵不是SPD，而是其迹线> 0。根据这个反例，我怀疑跟踪测试不是结论性的。

Answer 5

通过使用用于估计特征值的Gershgorin's Theorem，从考虑中消除一些矩阵，您也许可以稍微简化一下领域。

结果是，如果将每一行（除对角线上的元素）的绝对值求和， k ，则得到半径， r _k 。对应的特征值必须位于对角线 a _kk 上该值的半径之内。因此，如果对所有 k 使用 a _kk> r _k ，则您的矩阵为PD。如果 a _kk <= r _k 对于某些 k ，您的矩阵可能仍然是PD，因为这意味着一个或多个Gershgorin圆盘跨在虚轴上（或为零），并且实际特征值可能在任一侧。

假设issymmetric(A)成功，则类似：

r = sum(abs(A),2)-diag(A);
if length(find(r>diag(A))) == 0,
    % No circles cross the origin: A is PD
else
    % A might still be PD: do some other test
end

使用矩阵M=sprandsym(n,n,d)+c*speye(n,n)对此进行快速的肮脏测试，其中一些是PD，而有些不是（搅动n，d和{{1} }）似乎表明它可以识别许多但不是全部SPD矩阵（如预期的那样），但对于“大”而言，与c（及其底层的Cholesky）相比，非常便宜 n 。对于您的特定矩阵，它可能会起作用，也可能不会起作用。我想是YMMV。

显然，我还没有弄清所有细节，但是我敢肯定，你知道这个主意。

检查矩阵是否为SPD

5 个答案: