如何迭代栅格网格中的环？

Question

我们处于二维空间的任何给定位置。该空间分为二次单元格。我想按照它们与我们的距离顺序遍历给定距离内的所有单元格。例如，这可能发生在尺寸增大的环中。距离几乎相等的细胞顺序无关紧要。

如何以距离到给定位置的顺序循环这些单元格？

Answer 1

如果对整数网格坐标的简化是正确的（正如你在“几乎相等的距离”上所说的那样），你可以通过下面的代码逐渐增加距离逐个细胞。如果您的起点不同于（0,0），则只需将其添加到每个生成的点。关键的想法是：

1. 从(d,0)开始，我们以d的逆时针方向迭代地寻找具有“相似”距离（整数部分= (0,0)）的相邻点，直到我们到达起点
2. 每个点都有（除了我们来自的邻居）最多一个直接邻居（通过边缘）具有“相似”距离。如果没有直接邻居，则只有一个对角线邻居具有“相似”距离（除了前一个邻居之外）。
3. 到下一个邻居的向量“几乎”与到原点的向量正交。

以下是代码：

#include <cmath>
#include <vector>

template <typename T> int sgn(T val) {
    return (T(0) < val) - (val < T(0));
}

int dist(double dx, double dy)
{
    return (int)sqrt(dx*dx + dy*dy);
}

typedef std::pair<int,int> TPoint;
typedef std::vector<TPoint> TPoints;

void generateNeighbourRing(int d, TPoints& ring)
{
    int dx = d;
    int dy = 0;
    do
    {
        ring.push_back(TPoint(dx,dy));
        int nx = -sgn(dy);
        int ny = sgn(dx);
        if (nx != 0 && dist(dx+nx, dy) == d)
            dx += nx;
        else if (ny != 0 && dist(dx, dy+ny) == d)
            dy += ny;
        else
        {
            dx += nx;
            dy += ny;
        }
    } while (dx != d || dy != 0);
}

int main()
{
    TPoints points;
    const int d_max = 4;
    for (int d = 0; d <= d_max; ++d)
        generateNeighbourRing(d, points);
    printf("spiral for dmax=%d (%d points):\n", d_max, points.size());
    for (unsigned int i=0; i<points.size(); ++i)
        printf(" (%d,%d),", points[i].first, points[i].second);
    printf("\n");
}

正确性的合理性：

让我们首先看一下图像，其中与中心单元格距离相等的单元格具有相同的颜色（一旦距离被截断，一旦距离被舍入）：

- - - - - -

使用(dx,dy)，我们以相等的距离迭代环的单元格; (nx,ny)是一种法向量，沿每个半轴和每个象限内是常数：



每个区域的黑色箭头显示(nx,ny);蓝色箭头表示首先搜索具有相等距离的（直接）邻居的方向。

接下来，我们需要考虑具有相等距离的邻居的哪些配置是可能的。由于象限是旋转对称的，因此足以观察第一象限。两个直接邻居之间到中心小区的距离可以相差至多1;对角线朝向或远离中心，距离相差1或2：

。 。 。

（这源于直接的不等式。）重要的结论是不能发生相等距离的2x2块;最多4个邻居可以有相同的距离形成“之字形”：

。 。 。

另一个重要结论是每个细胞至少有2个具有相等距离的邻居，同样仅在某些配置中。由此可以推断，如果沿着蓝色箭头的邻居具有不同的距离，则沿着黑色箭头的邻居具有相同的距离。因此，放入变量ring的所有点都具有距离d。 （请注意，在第二个else - 分支中，不会检查距离。）

接下来我们将终止do ... while - 循环。注意，对于每次迭代，线（0,0） - （dx，dy）与正x轴之间的角度增加。由于距离保持不变，我们最终将离开当前象限并进入下一个象限。因为沿着半轴，每一个距离都会出现，一旦我们最终到达起点（d，0）。

由此可以得出两点都没有得到两点：在generateNeighbourRing的一次调用中，再次开始do ... while循环的迭代，同样的点再次导致无限循环，因此与终止。在generateNeighbourRing的几次调用中，由于到中心单元的距离不同，所有点都不同。

查看具有相同距离的邻居的可能配置，还可以显示将收集给定距离d的所有点。