Matlab：寻找ODE系统的系数

Question

我有三个方程的所有数据和ODE系统，它有9个未知系数（a1，a2，...，a9）。

dS/dt = a1*S+a2*D+a3*F
dD/dt = a4*S+a5*D+a6*F
dF/dt = a7*S+a8*D+a9*F

t = [1 2 3 4 5]
S = [17710 18445 20298 22369 24221]
D = [1357.33 1431.92 1448.94 1388.33 1468.95]
F = [104188 104792 112097 123492 140051]

如何使用Matlab找到ODE的这些系数（a1，...，a9）？

Answer 1

你有一个常微分方程的线性耦合系统，

y' = Ay    with    y = [S(t);  D(t);  F(t)]

并且您正在尝试解决逆问题，

A = unknown

有趣！

第一道攻击

对于给定的A，可以通过分析方式解决此类系统（例如，阅读the wiki）。

3x3设计矩阵A的一般解决方案采用

形式

[S(t) D(t) T(t)].' = c1*V1*exp(r1*t) + c2*V2*exp(r2*t) + c3*V3*exp(r3*t)

V和r分别为A和c标量的特征向量和特征值，通常由问题的初始值决定。

因此，似乎有两个步骤可以解决这个问题：

1. 查找最适合您数据的向量c*V和标量r
2. 从特征值和特征向量重建A。

然而，沿着这条路走下去是一件好事。你必须解决你所拥有的指数和方程的非线性最小二乘问题（例如，使用lsqcurvefit）。这将为您提供向量c*V和标量r。然后，您必须以某种方式解开常量c，并使用A和V重建矩阵r。

因此，您必须求解c（3个值），V（9个值）和r（3个值）来构建3x3矩阵{{1 （9个值） - 这对我来说似乎太复杂了。

更简单的方法

有一种更简单的方法;使用暴力：

A

到目前为止一切顺利。

然而，我尝试了复杂的方法和上面的蛮力方法，但我发现很难在任何接近小的范围内得到平方误差。

经过多次尝试后我能找到的最佳解决方案：

function test

    % find  
    [A, fval] = fminsearch(@objFcn, 10*randn(3))

end

function objVal = objFcn(A)

    % time span to be integrated over
    tspan = [1 2 3 4 5];

    % your desired data
    S = [17710    18445    20298    22369    24221   ];
    D = [1357.33  1431.92  1448.94  1388.33  1468.95 ];
    F = [104188   104792   112097   123492   140051  ];

    y_desired = [S; D; F].';

    % solve the ODE
    y0 =  y_desired(1,:);
    [~,y_real] = ode45(@(~,y) A*y, tspan, y0);

    % objective function value: sum of squared quotients
    objVal = sum((1 - y_real(:)./y_desired(:)).^2);

end

这一点都不错:)但我会喜欢一个不太难找到的解决方案......

Answer 2

我不能在此花费太多时间，但基本上你需要使用数学来将等式减少到更有意义的东西：

你的等式是

的顺序

dx / dt = A * x

解决方案是

x（t-t0）= exp（A *（t-t0））* x（t0）

因此

exp（A *（t-t0））= x（t-t0）*伪（x（t0））

Pseudo是Moore-Penrose Pseudo-Inverse。

编辑：第二次看我的解决方案，我没有正确计算伪逆。

基本上，伪（x（t0））= x（t0）'* inv（x（t0）* x（t0）'），如x（t0）* Pseudo（x（ t0））等于单位矩阵

现在您需要做的是假设每个时间步骤（1到2,2到3,3到4）是一个实验（因此t-t0 = 1），所以解决方案是：

1-构建伪逆：

xt = [S;D;F];
xt0 = xt(:,1:4);

xInv = xt0'*inv(xt0*xt0');

2-获取指数结果

xt1 = xt(:,2:5);
expA =  xt1 * xInv;

3-获取矩阵的对数：

A = logm(expA);

由于t-t0 = 1，A是我们的解决方案。

一个简单的检查证明

[t, y] = ode45(@(t,x) A*x,[1 5], xt(1:3,1));
plot (t,y,1:5, xt,'x')