我有一个关于证明关系属性的问题。 问题是： 如果R和S（R和S都是不同的关系）是可传递的，那么我将如何证明，那么R union S是可传递的？
答案实际上是假的，然后在书中给出了一个反例作为解决方案。
我理解反例是如何按照书中所解释的那样起作用的，但我不明白的是，他们究竟是如何得出该陈述实际上是错误的结论。
基本上我可以看到自己给出一个证据，证明如果对于R和S中的所有值（x，y，z），如果（x，y）在R中并且（y，z）在R中，（x ，z）在R中，因为R是可传递的。并且如果（x，y）在S中并且（y，z）在S中，则（x，z）在S中，因为S是可传递的。由于（x，z）在R和S中，因此交点为真。但为什么R和S的结合也不是真的呢？
是因为证明不能以＆＃34结束;因为（x，z）同时在R和S中，（x，z）可以在R或S＆＃34 ;?基本上，证据不能以结尾的OR语句结束？
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我理解反例是如何运作的，正如书中所解释的那样，但我不明白的是，他们究竟是如何得出这句话实际上是错误的结论。
鉴于存在（可能是有效的）反例，声明 为假。尝试将证据应用于反例可以帮助揭示错误。
这并不是说两个传递关系的联合本身是可传递的，它永远不会。实际上，有一些明显的例子，例如与自身的传递关系的联合或less-than和less-than-or-equal-to的联合（对于任何合理的定义，它等于less-than-or-equal-to）。但最初的陈述断言，任何两个传递关系就是这种情况。一个反例反驳了它。如果你能提供声明的（有效）证明，你就会发现一个悖论。这通常会导致数学家重新评估系统的公理以消除悖论。在这种情况下，没有悖论。
让T成为R和S的联合（为了简单起见，我们假设域等于范围，并且两者都是相同的集合）。您要证明的是，如果xTy和yTz，则必须是xTz的情况。作为校对大纲的一部分，您要说明以下内容：
如果（x，y）在R中且（y，z）在R中，则（x，z）在R中，因为R是可传递的
这显然是正确的，因为它只是传递性的定义。正如你所指出的，它可以用来证明两个传递关系的交集的传递性。但是，由于T是 union ，因此没有理由假设xRy;它可能只是xSy。由于您无法证明前提（xRy和yRz），因此（xRz）无关紧要。同样，您无法显示xSz。如果您无法显示xRz或xSz，则没有理由相信xTz。
这意味着这种情况给出了一个反例：当传递对的一半只来自R而另一半来自S时。作为一个简单的，人为的例子，定义集合{1,2,3}：
R={(1,2)}
S={(2,3)}
显然，R和S都是可传递的（因为x, y, z或xRy and yRz没有xSy and ySz。另一方面，
T={(1,2),(2,3)}
不具传递性。虽然1T2（从1R2开始）和2T3（从2S3开始），但1T3并非如此。你的教科书可能会提供一个更自然的反例，但我觉得这可以很好地理解导致断言失败的原因。