Question

我有一个时间序列，它是阻尼波的线性组合。数据是真实的。

Y（t）= SUM_w exp（ - gamma t）sin（ωt）

没有分析形式，但这是最接近的猜测。我想对这些数据进行傅立叶分析（FFT）并获得实际频率和阻尼率。

我正在使用matlab，但任何工具都没问题谢谢！

Answer 1

您的问题更适合http://math.stackexchange.com，其中LaTeX渲染可用于公式。相反，你必须使用例如这个书签正确显示：

javascript:(function(){function%20a(a){var%20b=a.createElement('script'),c;b.src='https://c328740.ssl.cf1.rackcdn.com/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML.js',b.type='text/javascript',c='MathJax.Hub.Config({tex2jax:{inlineMath:[[\'$\',\'$\']],displayMath:[[\'\\\\[\',\'\\\\]\']],processEscapes:true}});MathJax.Hub.Startup.onload();',window.opera?b.innerHTML=c:b.text=c,a.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(b)}function%20b(b){b.MathJax===undefined?a(b.document):b.MathJax.Hub.Queue(new%20b.Array('Typeset',b.MathJax.Hub))}var%20c=document.getElementsByTagName('iframe'),d,e;b(window);for(d=0;d<c.length;d++)e=c[d].contentWindow||c[d].contentDocument,e.document||(e=e.parentNode),b(e)})()

首先，我认为你的功能更准确的是那种 $ \ sum \ limits_k e ^ { - \ gamma_k t} \ sin（\ omega_k t）$ for $ t＆gt; 0 $和$ 0 $ for $ t＆lt; 0 $（否则函数将趋于无穷大$ t \ to- \ infty $）。由于阻尼函数不是周期性的，因此不能使用傅立叶分析，但必须使用Fourier transform，这会产生连续频率而非离散频率的幅度。使用复数表示$ \ sin（x）= \ frac {e ^ {ix} -e ^ { - ix}} {2i} $，总和中的每个项都可以单独进行傅里叶变换，得出

$ \ frac1 {2 \ pi} \ int_0 ^ \ infty e ^ { - \ gamma_k t} \ sin（\ omega_k t）e ^ { - i \ omega t} \，dt = \ frac {\ omega_k} {2 \ pi [（\ gamma + i \ omega）^ 2 + \ omega_k ^ 2]} = \ frac {\ omega_k} {2 \ pi} \ frac {（\ gamma ^ 2- \ omega ^ 2 + \ omega_k ^ 2）+ 2i \ gamma \ omega \ omega_k} {[\ gamma ^ 2- \ omega ^ 2 + \ omega_k ^ 2] ^ 2 + 4 \ gamma ^ 2 \ omega ^ 2} $

由于你说的是阻尼正弦只是一个猜测，你必须以某种方式离散这个无限的积分，尽管由于阻尼在一个足够大的时间$ t $的截止值应该是有序的。如果阻尼$ \ gamma_k $对于所有加数实际上是相同的，那么您的生活将变得更加容易：将数据乘以$ e ^ {+ \ gamma t} $以获得周期性信号，您现在可以真的是FFT。

Answer 2

首先将您的功能数字化：

t=0:dt:T; % define sampling interval dt and duration T according to your needs
Y=sum(exp(-gamma*t).*sin(omega*t));

然后做fft和情节：

Y_f=fft(Y);
plot(abs(Y_f));

计算阻尼波的fft

2 个答案: