Question

我有一个简单的问题：在R ^ p给出p点（非共线），我发现通过这些点的超平面（以帮助澄清我在R中输入所有内容）：

p<-2
x<-matrix(rnorm(p^2),p,p)
b<-solve(crossprod(cbind(1,x[,-2])))%*%crossprod(cbind(1,x[,-2]),x[,2])

然后，假设p + 1 ^点与第一个p点不共线，我发现方向垂直于b：

x2<-matrix(rnorm(p),p,1)
b2<-solve(c(-b[-1],1)%*%t(c(-b[-1],1))+x2%*%t(x2))%*%x2

即，b2定义垂直于b并经过x2的p维超平面。现在，我的问题是：

公式来自my interpretation of this wikipedia entry（“solve（A）”是A ^ -1的R命令）。为什么这不适用于p> 2？我做错了什么？

PS：我看过这篇文章（在关注流量编辑上：抱歉不能发布多个链接）但不知何故它对我没用。

提前致谢，

当p> 2：

时，我对Liu的解决方案的实施/理解有问题

浮点矩阵的qr分解与超平面方向之间的点积不应为0？（即，如果qr向量垂直于超平面）

即，当p = 2时

c(-b[2:p],1)%*%c(a1)

给出0.当p> 2时，它不会。

这是我尝试实施Victor Liu的解决方案。

a）在R ^ p中给出p线性独立观察：

p<-2;x<-matrix(rnorm(p^2),p,p);x
      [,1]       [,2]
[1,] -0.4634923 -0.2978151
[2,]  1.0284040 -0.3165424

b）将它们放在矩阵中并减去第一行：

a0<-sweep(x,2,x[1,],FUN="-");a0
        [,1]        [,2]
[1,] 0.000000  0.00000000
[2,] 1.491896 -0.01872726

c）执行矩阵a0的QR分解。 nullspace中的向量是我正在寻找的方向：

qr(a0)
          [,1]       [,2]
[1,] -1.491896 0.01872726
[2,]  1.000000 0.00000000

实际上;这个方向与维基百科公式的应用方法相同（使用x2 =（0.4965321,0.6373157））：

       [,1]
[1,]  2.04694853
[2,] -0.02569464

......具有更高维度的优势。

我还有最后一个问题：当p> 2时，另一个p-1（即此处为（1,0））QR向量的含义是什么？ - 提前谢谢，

Answer 1

p-1维超平面由法向量和平面通过的点定义：

n.(x-x0) = 0

其中n是长度为p的法线向量，x0是超平面通过的点，.是点积，并且对于任何点都必须满足等式x在飞机上。我们也可以把它写成

n.x = p

其中p = n.x0只是一个数字。这是超平面的更紧凑的表示，其由（n，p）参数化。要找到超平面，假设您的点是x1，...，xp。形成具有p-1行和p列的矩阵A，如下所示。 p的行是xi-x1，布局为行向量，对于所有i> 1（其中只有p-1）。如果你的p点不像你所说的那样“共线”（它们需要非常独立），那么矩阵A将具有秩p-1，并且零空间维度为1.零空间中的一个向量是法线向量。超平面。一旦找到它（称之为n），然后p = n.x1。为了找到矩阵的零空间，您可以使用QR分解（有关详细信息，请参阅here）。

（所有）方向垂直于超平面通过p数据点

1 个答案: