如何将正方形上的坐标转换为圆上的坐标？

Question

我正在开发一款独立视频游戏，并且假设因为我的控制器上的拇指操纵杆具有圆形运动范围，它会返回“圆形”坐标;也就是说，笛卡尔坐标约束为圆形区域（半径为1）。实际上，坐标是“方形”;例如，右上方的拇指操纵杆位置记录为x = 1，y = 1。当我将坐标从笛卡尔坐标转换为极坐标时，幅度可以超过1 - 这样可以使玩家在对角线上移动得比垂直或水平移动更快。

因此，为了澄清，我想记录模拟拇指操纵杆在方向和幅度方面的位置，其中幅度介于0和1之间。拇指操纵杆返回方形平面上的坐标，因此只需转换坐标笛卡尔到极地是不够的。我想我需要转换坐标 space ，但这会压迫我的猴子大脑的极限。

Answer 1

见Mapping a Square to a Circle。映射还有一个很好的可视化。你得到：

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)
yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

Answer 2

映射不是唯一的。这个问题还有很多其他解决方案。

例如，此映射也可以使用

  

u =x√（x²+y² - x²y²）/√（x²+y²）

     

v =y√（x²+y² - x²y²）/√（x²+y²）

其中（u，v）是圆盘坐标，（x，y）是方坐标。

一张图片胜过千言万语，所以这里有一些图片来说明映射的非唯一性及其反转。

For a C++ implementation这个其他映射，转到
http://squircular.blogspot.com/2015/09/fg-squircle-mapping.html
有关映射结果的更多图像，请参阅http://squircular.blogspot.com。

另见"Analytical Methods for Squaring the Disc"一篇论文，讨论具有证据和推导的不同映射方程。

Answer 3

将每个值除以幅度，以将所有值标准化为单位矢量，例如

magn = sqrt(x * x + y * y);
newx = magn > 1.0 ? x / magn : x;
newy = magn > 1.0 ? y / magn : y;

然而，这可能具有削减幅度而不是对内部值进行标准化的效果。也就是说，对于完全“推入”左上方和控制器几乎完全朝着同一方向推进。