Question

我正在研究LBP2中的游戏，该游戏修改了控制器输入的方式。这个问题： How can I convert coordinates on a square to coordinates on a circle? 用我正在做的事情帮助了我很多，但我确实遇到了一个问题。我需要他们给出的反函数。他们从广场出发 - ＆gt;圈子，我试图搜索如何将圆圈映射到正方形。

上一个问题中给出的功能是：

xCircle = xSquare * sqrt（1 - 0.5 * ySquare ^ 2）

yCircle = ySquare * sqrt（1 - 0.5 * xSquare ^ 2）

来自Mapping a Square to a Circle

我的问题是xCircle和yCircle ......如何找到xSquare和ySquare？

我已经尝试了我所知道的所有代数，填写了两页注释，试图获得wolfram alpha以获得反函数，但这个问题超出了我的能力。

感谢您一看。

Answer 1

x =½√（2 +u² - v²+2u√2） - ½√（2 +u² - v² - 2u√2）
y =½√（2 - u²+v²+2v√2） - ½√（2 - u²+v² - 2v√2）

关于符号的注释：我使用的是x = xSquare，y = ySquare，u = xCircle和v = yCircle;

即。 （u，v）是圆盘坐标，（x，y）是方坐标。

对于公式的C ++实现，请转到
http://squircular.blogspot.com/2015/09/mapping-circle-to-square.html

参见http://squircular.blogspot.com 更多示例图片。
另外，请参阅http://arxiv.org/abs/1509.06344了解证明/推导

此映射与

相反

u =x√（1 - ½y²）
v =y√（1 - ½x²）

P.S。映射不是唯一的。还有其他映射。下图说明了映射的非唯一性。

Answer 2

如果你有xCircle和yCircle意味着你在一个半径为R = sqrt(xCircle^2 + yCircle^2)的圆上。现在您需要将该圆扩展为半边= R，

的正方形

if (xCircle < yCircle)
     ySquare = R, xSquare = xCircle * R/yCircle
else
     xSquare = R, ySquare = yCircle * R/xCircle

这是针对第一象限，对于其他人来说，你需要用标志进行一些微不足道的调整

Answer 3

我正在实施上述解决方案，但结果并不令人满意。方形坐标不精确。

这是一个简单的反例：

考虑广场上的点（x，y）=（0.75,1）。
我们将圆圈上的（u，v）=（0.53,0.85）映射到圆圈。
应用上面的表达式，我们得到新的方坐标

（x＆＃39;，y＆＃39;）=（u / v，r）=（0.625543242,1），r =（u ^ 2 + v ^ 2）^（1/2）。

这一点很接近，但不是预期的精确解决方案。

我解决了一个根发现问题，以便像上面那样得到从正方形到圆形的映射的逆表达式。你需要解决上面的系统方程式：

I) u = x*(1-y^2/2)^(1/2)
II) v = y*(1-x^2/2)^(1/2)

最终有8个根点作为解决方案。我在Excel-VBA中实现的根源之一，我在下面介绍它并且工作得很好。

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the x coordinate on the square
Function circ2sqrX(u As Double, v As Double) As Double
    Dim r As Double, signX As Double, u2 As Double, v2 As Double, uuvv As Double, temp1 As Double
    u2 = u * u
    v2 = v * v
    r = Sqr(u2 + v2)
    signX = 1
    If v = 0 Or u = 0 Then
       circ2sqrX = u
       Exit Function
    End If
    If u < 0 Then
    signX = -1
    End If
    If Abs(u) = Abs(v) And r = 1 Then
       circ2sqrX = signX
       Exit Function
    End If
    uuvv = (u2 - v2) * (u2 - v2) / 4
    temp1 = 2 * Sqr(uuvv - u2 - v2 + 1)
    circ2sqrX = -((temp1 - u2 + v2 - 2) * Sqr(temp1 + u2 - v2 + 2)) / (4 * u)
End Function

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the y coordinate on the square
' make use of symetrie property
Function circ2sqrY(u As Double, v As Double) As Double
    circ2sqrY=circ2sqrX(v,u)
End Function

Answer 4

有很多方法可以做到这一点;这是一个简单的方法。

想象一个以原点为中心的半径 R 的圆圈，以及以原点为中心的边 2R 的正方形，我们想要映射内部和之后的所有点圆的边界（坐标（x，y））到方形边界内和边界上的点。请注意，我们还可以使用polar coordinates （r，ø）（这应该是一个phi）来描述圆圈内的点，其中

x = rcosø，
y = rsinø

（即 r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 和 r＆lt; = 1 ）。然后想象其他坐标 x'= a（ø）x = a（ø）rcosø， y'= a（ø）y （即，我们决定 a 不依赖于 r ）。

为了将圆的边界（ r = 1 ）映射到正方形的边界（ x'= R ），我们必须为< em>ø＆lt; 45deg ， x'= a（ø）Rcosø= R ，因此我们必须 a（ø）= 1 /cosø。类似地，对于 45＆lt; ø＆lt; 90 我们必须将圆形图的边界设置为 y'= R ，在该区域中给出 a（ø）= 1 /sinø。继续围绕圆圈，我们看到 a（ø）必须始终为正，因此从圆圈到正方形的最终映射是

x'= a（ø）x，
y'= a（ø）y

，其中

ø = | arctan y / x | = arctan | y / x |

和

a（ø）= 1 /cosø，当ø＆lt; = 45度时（即 x 时），和 a（ø）= 1 /sinø，当ø＆gt; 45度

立即为您提供另一个方向的映射。如果方块上有坐标（x'，y'）（其中 x'＆lt; = R 和 y'＆lt; = R ），然后

x = x'/ a（ø）
y = y'/ a（ø）

如上所述 a（ø）。

更简单的映射是计算圆上所需位置的（r，ø），并将其映射到 x'= r 和 y'=ø。这也将圆圈中的每个点都映射到一个矩形，反之亦然，并且可能有更好的属性，取决于你想要做什么。

这就是真正的问题：你实际上想要做的是什么？

如何将圆上的坐标转换为正方形上的坐标？

4 个答案: