从图中消除顶点

Question

来自Skiena的书，

设计线性时间算法，通过用边（u，w）替换边（u，v）和（v，w），从图中消除2阶的每个顶点v。我们还试图通过用单个边缘替换它们来消除多个边缘副本。请注意，删除边的多个副本可能会创建一个2级的新顶点，必须将其删除，并且删除2级顶点可能会创建多个边，也必须将其删除。

一般来说，我至少有一种方法，对于这个问题，我很无奈。这不是新闻，而只是我自己准备面试。

Answer 1

这个问题有两条线索 - 线性时间要求和多重复制洞察力。第一个建议不应该处理任何顶点超过固定次数，第二个建议需要维护一个队列来决定下一个要访问的顶点。

基于此，我的总体思路如下。我们维护一个需要处理的顶点队列。如果顶点具有2的outdegree，或者它具有一个或多个其他顶点的多个边，则必须处理该顶点。顶点在发现时放置在队列中。当边缘被添加到边缘或从边缘移除时，会发现顶点。

处理顶点

从队列中删除顶点 v 。 如果它具有2级（即2个邻居），则将边缘移至 u 和 w （O（1））。 如果此类边缘尚不存在，则在 u 和 w 之间添加边（O（1））。 如果 u 现在的度数为2且尚未在队列中，请添加到队列的前面。对 w 执行相同操作。 （每个O（1））

Algorithm ProcessVertex(v, Q)
  Remove v from Q;
  IF Degree(v) == 2 and Seen(v) == False:
    Seen(v) = True
    u = Adj(v).first;
    RemoveEdge(u,v);
    w = Adj(v).first;
    RemoveEdge(u,w);
    IF !IsEdge(u,w)
      AddEdge(u,w);

算法

遍历顶点列表。对于每个顶点，如果它的度数为2，则将其添加到队列中;否则什么都不做。

队列不为空时，处理前顶点。

Algorithm EliminateVertices(G)
  Q = empty queue;
  FOR v in G
    IF Degree(v) == 2
      EnqueueFront(v,Q);

  WHILE !IsEmpty(Q)
    ProcessVertex(Front(Q), Q);

线性复杂度证明

• 我们可以在O（1）时间检查两个顶点 i 和 j 之间是否存在边缘。这是使用邻接矩阵表示来实现的。在O（1）时间内跟踪每个节点的程度也很容易 - 只是在分别向节点添加/删除边缘时增加或减少计数。因此，每个ProcessVertex调用都需要O（1）时间。
• 每个顶点最多只会被处理一次。证明：从队列中删除顶点后，顶点不再存在。我们还可以有效地（O（1））确保顶点不能多次添加到队列中（在每个顶点标记它是否已经在队列中，如果是，则不添加它）。因此，最多有O（n）个ProcessVertex调用。