我可以在四元数中切换X Y Z吗？

Question

我有一个Y轴为UP的坐标系。我需要将它转换为Z为UP的坐标系。我将旋转存储在四元数中，所以我的问题是：如果我有一个四元数X，Y，Z我可以用Z切换Y并得到Z实际上是UP的结果吗？

Answer 1

只需在四元数中打开两个轴？不，这不起作用，因为这会颠覆手性。然而，如果你翻转手性并否定四元数的真实部分，那么你就会恢复原始的手性。一般来说，您可以将其写为

Q'（Q，i'j'k'）=ε _i'j'k' Q _w _w + Q _i _i + Q _j _j + Q _k _k

其中

是完全反对称的张量，称为Levi-Cevita符号。

这不应该是一个惊喜，因为四元数的i²，j²，k²规则也由相同的完全反对称张量定义。

Answer 2

我正在调整this post的答案，因为这里的答案较旧且可能更通用。

最好在将角度和轴转换为四元数的上下文中考虑这一点。在Wikipedia中，您可以读到使用

描述围绕具有单位方向矢量（x，y，z）的轴的角度θ的旋转

  

q = cos（θ/ 2）+ sin（θ/ 2）（xi + yj + zk）

你的帖子只告诉我们Y↦Z，即旧的Y方向是新的Z方向。其他方向呢？你可能想要保留X↦X，但这仍然有两个选择。

1. 您使用Z↦Y。在这种情况下，您可以在左手坐标系和右手坐标系之间切换，转换本质上是一种反映。
2. 或者您使用Z↦-Y，然后它绕X轴旋转90°。坐标系的灵活性保持不变。

手性的变化

首先考虑第一个案例。更改坐标系对角度和轴的影响是什么？嗯，轴坐标经历与点相同的坐标交换，角度改变其符号。你有

  

cos（-θ/ 2）+ sin（-θ/ 2）（xi + zj + yk）

与上面相比，实部不会改变（因为cos（ x ）= cos（ - x ））但是虚部改变了它们的符号，除了改变顺序。由此推广，描述旧坐标系中旋转的四元数a + bi + cj + dk将在新坐标系中变为a − bi − dj − ck。或者进入−a + bi + dj + ck，这是对同一旋转的不同描述（因为它将θ改变360°但θ/ 2改变180°）。

保留的手性

与此相比，Z↦-Y的第二种情况保持θ的符号，因此您只需调整轴。新的 Z 坐标是旧的 Y 坐标，新的 Y 坐标是否定的旧 Z 坐标。因此a + bi + cj + dk会转换为a + bi − dj + ck（或其否定）。请注意，这只是四元数乘以i或−i，具体取决于您将其乘以哪一边。如果你想把它写成一个共轭，你有θ=±45°所以你得到了表示坐标系变化的四元数的平方根。

Answer 3

尝试： 四元数旋转=新四元数（X，Z，Y，-W）; //由于

，我不得不交换Z和Y.

Answer 4

不，你不能交换y和z - 它会变成左手坐标系，如果它是右手（反之亦然）。

但是，您可以进行以下替换：

newX = oldZ
newY = oldX
newZ = oldY

我怀疑你真正想要的是围绕x轴的简单旋转。如果这就是你想要切换y和z的原因，那么你应该对+ x轴应用-90度的旋转（假设你有一个右手坐标系）。