有多少素数（可用于RSA加密）？

Question

我是否错误地认为RSA加密的安全性通常受已知素数的限制？

要破解（或创建）私钥，必须组合正确的素数对。

是否无法发布RSA使用范围内所有素数的列表？或者这个列表足够大，以使这种暴力攻击不太可能？难道不会有“常用的”素数吗？

Answer 1

RSA不会从已知素数列表中选择：它会生成一个新的非常大的数字，然后应用算法来查找几乎肯定是素数的附近数字。见this useful description of large prime generation）：

  

生成大素数的标准方法是采用所需长度的预选随机数，应用费马测试（最好用基数2，因为它可以针对速度进行优化）然后应用一定数量的米勒-Rabin测试（取决于长度和允许的错误率，如2-100）得到一个非常可能是素数的数字。

（你可能会问为什么，在这种情况下，当我们尝试找到更大和更大的素数时，我们没有使用这种方法。答案是最大的已知素数has over 17 million digits - 远远超过非常大的通常用于密码学的数字。）

至于是否可以进行冲突 - 现代密钥大小（取决于您所需的安全性）的范围为1024到4096，这意味着质数范围从512到2048位。这意味着您的素数大约为2 ^ 512：超过150位数。

我们可以使用1 / ln(n)非常粗略地估计素数的密度（参见here）。这意味着在这些10^150数字中，大约有10^150/ln(10^150)个素数，可以选择2.8x10^147个素数 - 当然比你可以放入任何列表中的更多!!

是的 - 该范围内的素数数量惊人地巨大，并且实际上不可能发生碰撞。 （即使你生成了一万亿个可能的素数，形成一个septillion组合，它们中任何两个素数相同的素数的概率都是10^-123）。

Answer 2

随着新研究的出现，你的问题的答案变得更加有趣。在最近的一篇论文＆＃34;不完美的前瞻性保密：Diffie-Hellman如何在实践中失败＆＃34;由David Adrian等人发现@ 2015年10月16日访问@ https://weakdh.org/imperfect-forward-secrecy-ccs15.pdf的研究人员表示，尽管RSA的1024位密钥集可能有足够数量的素数可用，但内部有一组密钥由于实施而更有可能使用的整个集合。

  

我们估计即使在1024位的情况下，计算也是如此   合理的民族国家资源。少数固定或   数百万台服务器使用标准化组;执行   单个1024位组的预计算将允许被动   窃听18％的热门HTTPS网站，第二组则是   允许解密66％的IPsec VPN和26％的SSH流量   服务器。仔细阅读已公布的NSA泄漏情况表明   代理商对VPN的攻击与实现这样的目标是一致的   打破。我们得出结论，转向更强大的密钥交换方法应该   成为互联网社区的优先事项。

该研究还显示了TLS中的一个漏洞，可能允许中间人攻击者将加密降级为512位。

因此，在回答您的问题时，RSA加密中可能有足够数量的素数在纸上，但实际上，如果您隐藏在一个国家/地区，则存在安全问题。

Answer 3

RSA中使用的素数不仅很大。它必须是10-digited或可能是100-digited。我指的不是数十亿或数万亿，而是超出难以表达甚至想象的东西。

所以要回答这个问题，这些数字不能为素数。