Question

我正在编写一个考虑速度的数值算法。我在scipy / numpy（scipy.linalg.expm2，scipy.linalg.expm）中遇到了两个矩阵指数函数。但是我有一个矩阵，我知道它是预先对角的。这些scipy函数是否在运行之前检查矩阵是否是对角线？显然，对于对角矩阵，取幂算法可以快得多，我只想确保它们正在做一些聪明的事情 - 如果它们不是，那么有一种简单的方法吗？

Answer 1

如果矩阵是对角线，则可以通过对主对角线上的每个条目取幂来获得其指数，因此您可以通过以下方式计算：

np.diag(np.exp(np.diag(a)))

Answer 2

如果你知道A是对角线而你想要k次幂：

def dpow(a, k):
    return np.diag(np.diag(a) ** k)

检查矩阵是否是对角线：

def isdiag(a):
    return np.all(a == np.diag(np.diag(a)))

所以：

def pow(a, k):
    if isdiag(a):
        return dpow(a, k)
    else:
        return np.asmatrix(a) ** k

同样对于指数（你可以通过扩展一套战略来数学获得），你可以这样做：

def dexp(a, k):
    return np.diag(np.exp(np.diag(a)))

def exp(a, k):
    if isdiag(a):
        return dexp(a, k)
    else:
        #use scipy.linalg.expm2 or whatever

Answer 3

我开发了一种工具，可以帮助更快地像HYRY一样做，但是通过就地：

def diagonal(array):
    """ Return a **view** of the diagonal elements of 'array' """
    from numpy.lib.stride_tricks import as_strided
    return as_strided(array,shape=(min(array.shape),),strides=(sum(array.strides),))

# generate a random diagonal array
d  = np.diag(np.random.random(4000))

# in-place exponent of the diagonal elements
ddiag = diagonal(d)
ddiag[:] = np.exp(ddiag)

# timeit comparison with HYRY's method
%timeit -n10 np.diag(np.exp(np.diag(d)))   
    # out> 10 loops, best of 3: 52.1 ms per loop
%timeit -n10 ddiag = diagonal(d); ddiag[:] = np.exp(ddiag)
    # out> 10 loops, best of 3: 108 µs per loop

现在，

HYRY的方法是对角线长度的二次方（可能是因为新的数组内存分配），所以如果你的矩阵维度很小，差异可能不会那么大。
您需要使用就地计算
最后，非对角线元素为0，所以它们的指数应该是1，不是吗？在我们的方法中，非对角线都是0。

对于最后一部分，如果你想让所有非对角线元素为1，那么你可以这样做：

d2 = np.ones_like(d); 
diagonal(d2)[:] = np.exp(np.diag(d))

print (d2==np.exp(d)).all()  # True

但是这与数组大小呈线性关系，因此对角线长度是二次方的w.r.t。对于4000x4000阵列，timeit给出~90ms，对于2000x2000阵列，给出22.3ms。

最后，你也可以就地加快速度：

diag = np.diag(d)
d[:]=1
diagonal(d)[:] = np.exp(diag)

Timeit为4000 ^ 2阵列提供66.1ms，为2000 ^ 2

提供16.8ms

Python中的对角矩阵指数

3 个答案: