用弦高划分曲线

Question

我想将曲线细分为具有相等和弦高度的段。我知道我可以用Divide Distance工具分成相等的弦长，但我找不到高度选项。 我写了一些非常脏的代码here。 （不要评判我，它不够优雅，效率低下，但它确实起作用。）

我真正想听到的是，继续做二进制搜索这样的事情是没有意义的，因为Grasshopper中已有一个功能可以做到这一点，但如果不这样做，有没有人对如何做有任何建议它以更有效的方式？

Answer 1

我的回答是关于找到bezier曲线弦高（sagitta？），而不是细分过程。

我认为具有控制点P0，P1，P2，P3的三次贝塞尔曲线。 Sagitta是与弦段C = P0P3的最大距离。当曲线的方向矢量（hodograph，1st derivative）平行于和弦矢量时，达到最大距离。三次贝塞尔曲线的Hodograph是具有控制点的二次贝塞尔曲线（Sederberg book CAGD, section 2.7）：

D0=3(P1-P0), D1=3(P2-P1), D2=3(P3-P2)

当交叉积为零时，向量是平行的，所以我们有等式

Cx*Dy-CyDx=0   or 
(P3x-P0x)*((P1y-P0y)*(1-t)^2+2*(P2y-P1y)*t*(1-t)+(P3y-P2y)*t^2) = 
(P3y-P0y)*((P1x-P0x)*(1-t)^2+2*(P2x-P1x)*t*(1-t)+(P3x-P2x)*t^2)

这是二次方程，对于范围[0..1]中的t，它可以有0,1或2个解（对于S形曲线，情况2可能是这样）。然后我们可以在从方程式找到的t参数中评估贝塞尔曲线，并计算到和弦的距离。