在Agda中键入Hierarchy

Question

我试图弄清楚类型层次结构在Agda中是如何工作的。

假设我定义了一个集合类型X：

X : Set 

然后继续构建归纳型

data Y : X -> Set where

X -> Set的类型是什么？是设置还是类型？

谢谢！

Answer 1

那么，为什么不问阿格达呢？我将为Emacs使用出色的Agda模式。我们从：

开始

module Hierarchy where

postulate
  X : Set

data Y : X → Set where
  -- empty

我们必须使用C-c C-l加载文件;这样可以检查文件，将?转换为空洞，进行语法高亮等等。

现在，C-c C-d有一个命令“推断（演绎）类型”，所以让我们使用：

> C-c C-d
Expression:
> Y
X → Set

是的，这是有道理的。我们定义了Y : X → Set，所以它应该不足为奇。我们再问一遍：

> C-c C-d
Expression:
> X → Set
Set₁

所以，你有它：Y : X → Set : Set₁。

---

虽然第一部分回答了问题，并向您展示了如何自己检查这些内容，但每次这样做都会变得乏味，至少。以下是它的工作原理：

为避免悖论，我们需要

Set i : Set (i + 1)

它为您提供Set s的（无限）层次结构。如果您有Set : Set（Agda允许通过--type-in-type标记），您可能会导致this one之类的矛盾。

这也为我们提供了一个简单的函数规则：

A : Set i
B : A → Set j

(a : A) → B a : Set (max i j)

将此应用于您的示例：

X   : Set
Set : Set₁

X → Set : Set (max 0 1)
X → Set : Set₁