Question

我有一个2维椭圆，由正定矩阵X定义如下：如果x'* X * x <= 1，则点x在椭圆中。如何在matlab中绘制这个椭圆？我做了一些搜索，却发现意外的很少。

实际得出答案：我会将此作为答案发布，但它不会让我（新用户）：

经过一些修修补补后想出来。基本上，我们将椭圆边界上的点（x'* X * x = 1）表示为X的特征向量的加权组合，这使得一些数学计算更容易找到点。我们可以写（au + bv）' X （au + bv）= 1并计算a，b之间的关系。 Matlab代码如下（抱歉它很乱，只是使用了我用笔/纸使用的相同符号）：

function plot_ellipse(X, varargin)
% Plots an ellipse of the form x'*X*x <= 1

% plot vectors of the form a*u + b*v where u,v are eigenvectors of X

[V,D] = eig(X);
u = V(:,1);
v = V(:,2);
l1 = D(1,1);
l2 = D(2,2);

pts = [];

delta = .1;

for alpha = -1/sqrt(l1)-delta:delta:1/sqrt(l1)+delta
    beta = sqrt((1 - alpha^2 * l1)/l2);
    pts(:,end+1) = alpha*u + beta*v;
end
for alpha = 1/sqrt(l1)+delta:-delta:-1/sqrt(l1)-delta
    beta = -sqrt((1 - alpha^2 * l1)/l2);
    pts(:,end+1) = alpha*u + beta*v;
end

plot(pts(1,:), pts(2,:), varargin{:})

Answer 1

我在搜索这个主题时偶然发现了这篇文章，即使它已经解决了，我想如果矩阵是对称的，我可能会提供另一个更简单的解决方案。

另一种方法是使用Matlab中实现的半定正矩阵E的Cholesky分解作为chol函数。它计算上三角矩阵R，使得X = R＆＃39; * R.使用它，x＆＃39; * X * x =（R * x）＆＃39; *（R * x）= z＆＃39; * z，如果我们将z定义为R * x。

因此绘制的曲线变为z＆＃39; * z = 1，并且这是一个圆。因此，对于0 <= t <=2π，简单的解是z =（cos（t），sin（t））。然后乘以R的倒数得到椭圆。

转换为以下代码非常简单：

function plot_ellipse(E)
 % plots an ellipse of the form xEx = 1
 R = chol(E);
 t = linspace(0, 2*pi, 100); % or any high number to make curve smooth
 z = [cos(t); sin(t)];
 ellipse = inv(R) * z;
 plot(ellipse(1,:), ellipse(2,:))
end

希望这可能会有所帮助！

在矩阵形式给出的MATLAB中绘制椭圆

1 个答案: