Question

我正在使用HTML5画布编写一个简单的图形应用程序。输入是一个像这样的不等式系统（所有函数都是线性的）：

4x + y >= 4
x  + y <= 4
x,y >= 0

我想要的输出是一组形成要填充的形状的点。例如，对于此示例，图形将为：

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点集：[0,4]，[1,0]，[4,0]。找到这些点的算法是什么？我知道线的交点是线性系统的解决方案，但我无法弄清楚如何正确填充。请注意，这个问题不是关于图形系统的实现，而是如何找到填充的形状点。

Answer 1

在我看来，你的问题确实存在两个问题：方程是否定义了一个闭合的多边形，以及如何填充它？

例如，
*如果你的方程包括x + y> 10，x + y＆lt; 5，你无法找到解决办法，没有什么可以填补， *如果你的方程只是x> 0，y＆gt; 0，你会遇到问题，因为要绘制的表面是无界/无限的。

对于你的方程组是否有解决方案，我认为大致相当于simplex algorithm in Linear Programming：Phase I of the algorithm确定问题是否可行。

该解决方案是否形成闭合多边形不是线性编程通常感兴趣的东西。但是，你可以通过检查4个问题来解决这个问题：最小化x，最大化x，最小化y，最大化y，给定你的不等式，有一个解决方案。如果这些问题中的任何一个没有，那么你知道问题是无限的 - 我认为这意味着多边形没有被关闭。

一旦你知道多边形是关闭的，我只需计算所有线的交点，可能会将其减少到convex hull，然后填充生成的多边形。

Answer 2

我可以提出以下算法。有必要注意这个算法不是基于找到线交叉点的想法，然后以某种方式确定区域，因为这种方式对于算法实现来说似乎很复杂。
由于计算中的空间无论如何都是离散的，因此引入一些正交网格似乎很自然所以：

让我们介绍具有一些特征细胞大小的正交网格。此大小取决于您的问题陈述的一些细节。让我们假设网格具有N * M个节点（x_i，y_j），0＆lt; = i＆lt; N，0＆lt; = j＆lt; M
让我们找到满足所有K个不等式a_k * x1_i + b_k * y1_j-c_k＆lt; = 0的所有点（x1_i，y1_j），其中0 <= k <1。 K.应填补这些要点。
如果网格分辨率足以实现可视化。如果不是，我们必须确定边界点附近的哪条线路通过。为此，我们检查每个边界点及其邻居。如果我们发现该点的邻居违反了Sth不等式，则意味着Sth线在该点与该邻居之间传递。

Answer 3

你可以利用任何被定义为线性半空间联合的区域必须是单个凸区域，尽管可能是半无限区域，这可能会增加混乱。

首先添加一个不等式的矩形“窗口”，它是您正在绘制的域的超集。这样，您可以忽略结果为半无限空间的情况。
找到所有边界对之间的交点。这是两个嵌套循环和一个交叉检查器。（如果需要，您可以先找到非窗口不等式的所有交集，设置窗口以包含所有这些，然后添加与窗口相关的交叉点。）
抛弃所有不符合任何不平等的点。
如果还有任何积分，请使用convex hull algorithm查找所附区域并进行绘制。

请注意，如果预先知道图形窗口，则可以通过仅考虑窗口内的边界段并使用增强的Bentley-Ottman等排列算法来使交叉点计算更有效。