子集总数

Question

我对这个问题感到好奇..

您可以从集合P = {1,2,3，.. n}中选择多少个子集？子集S应满足以下条件：

当您选择x（x∈P，x是集合P的元素）来创建S时，您不能为S选择* x和b * x。

约束：

1 <= n <= 1000
2 <= a < b <= n
b % a != 0 ( b is not divisible by a)

示例：

n = 3 , a = 2, b = 3
so total subsets are 5 ,i.e, {}, {1}, {2}, {3}, {2, 3} 
as if in a particular subset there is 1 so 1*2 = 2 and 1*3 cant be there.
so {1,2}, {1,3} and {1,2,3} can't be there

Answer 1

<强>更新

这与OEIS（在线整数序列百科全书）中的 sequence A051026 : Number of primitive subsequences of {1, 2, ..., n} 有关。

我认为没有任何简单的方法来计算这些条款。即使递归计算也不是微不足道的，除非n是素数，其中：

a(n) = 2 * a(n-1) - 1

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这里的问题和“A051026”都可以被认为是上述序列概括的子问题。 “A051026”是(a,b,..) = (2,3,4,5...)的实例，例如“所有整数＆gt; = 2”。

Answer 2

我相信计算互补更容易 - 即不允许的S子集数量。这是S的子集数量，每个子集至少有一对(a,b)，a除以b。在你计算出这个数字之后，M'只是从2个 ⁿ 的S子集总数中减去它。

现在要计算不允许S的子集数量，您必须应用inclusion-exclusion principle。解决方案不是很容易实现，但我认为没有替代方法。